Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet

Matematički odjel

Martin Lazar

Globalna rješenja Boltzmannove jednadžbe

Diplomski rad

Zagreb, lipnja 1998.

Predgovor

Ludwig Boltzmann je 1872. godine napisao jednadžbu koja opisuje ponašanje razrijedenog plina. Boltzmannova jednadžba je i dalje osnova kinetičke teorije plinova i primjenjuje se za proučavanje ne samo klasičnih plinova, koje je Boltzmann imao na umu kad ju je pisao, nego uz odgovarajuća poopćenja, koristi se za proučavanje prijenosa elektrona, neutrona i fotona u odgovarajućim sredinama. U zadnjih dvadeset godina povečano je zanimanje za nju i jedan od najnovijih rezultata na tu temu je članak Ronalda DiPerne i Pierre Louis Lionsa u kojem dokazuju egzistenciju globalnih rješenja Boltzmannove jednadžbe. U ovom Radu sam pokušao dati prikaz tog dokaza i pri tom pojasniti mnoštvo detalja, koji su u članku ostali nerazjašnjeni.

Ovom prilikom želim se zahvaliti svom mentoru dr. Nenadu Antoniću na nesebičnoj potpori i razumijevanju koje sam imao za vrijeme pisanja ovog Rada. Ističem da sam kroz cijelo to vrijeme mogao računati na njegovu pomoć u razjašnjavanju svih nejasnoća na koje sam nailazio. Mnoštvom korisnih savjeta trudio se pojasniti i prikazati zanimljivim relativno teško i meni do tada nepoznato gradivo, koje se u Radu koristi. Na kraju se zahvaljujem i asistentima Nevenu Balenoviću i Marku Vrdoljaku na uloženom vremenu i korisnim savjetima kojima su mi pomogli riješiti odredene probleme vezane uz ovaj rad.

Zagreb, lipnja 1998. Martin Lazar

Sadržaj

Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Sadržaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

I. Kinetička teorija plinova

1. Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Liouvilleova jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Poincaréov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II. Izvod Boltzmannove jednadžbe

1. Fazni prostor i Liouvilleova jednadžba za plin . . . . . . . . . . . . . 10 2. Heuristički izvod Boltzmannove jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . 13

III. Pregled analitičkih rezultata

1. L^{p} prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Distribucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Slaba kompaktnost u L^{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. Prijenosni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

IV. Cauchyjeva zadaća za Boltzmannovu jednadžbu

1. Prve ocjene rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. Osnovni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Klasična rješenja pomoćne Cauchyeve zadaće iterativnim postupkom … 31 4. Aproksimativna rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. Prijelaz na slabo konvergentan podniz i prva svojstva limesa . . . . . . 39 6. Jaka konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7. Limes je renormalizirano rješenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I. Kinetička teorija plinova

Globalna rješenja Boltzmannove jednadžbe

1. Fazni prostor

U statističkoj mehanici prikladno je opisati stanje mehaničkog sustava G sa s stupnjeva slobode pomoću vrijednosti Hamiltonovih varijabli q_{1}, q_{2}, ⋯, q_{s}; p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{s}. Jednadžbe gibanja tada poprimaju sljedeći oblik

(1)  \frac{dp_{i}}{dt} = −\frac{∂H}{∂q_{i}} , \frac{dq_{i}}{dt} = \frac{∂H}{∂p_{i}} ,

gdje je H Hamiltonova funkcija 2s varijabli q_{1}, ⋯, p_{s} (pritom pretpostavljamo da H ne ovisi o vremenu t eksplicitno). Vremenska derivacija funkcije H se lako izračuna koristeći (1):

\frac{dH}{dt} = ∑_{i=1}^{s} \frac{∂H}{∂q_{i}} \frac{dq_{i}}{dt} + ∑_{i=1}^{s} \frac{∂H}{∂p_{i}} \frac{dp_{i}}{dt} = 0 .

Zbog toga što sustav (1) sadrži samo jednadžbe prvog reda, na osnovu jedinstvenosti rješenja Cauchyeve zadaće za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, slijedi da znajući vrijednosti Hamiltonovih jednadžbi u trenutku t_{0} možemo odrediti njihove vrijednosti u svakom drugom trenutku t.

Uvedimo sad 2s dimenzionalni euklidski prostor Γ, čije točke imaju Kartezijeve koordinate q_{1}, ⋯, p_{s}. Svakom stanju mehaničkog sustava G odgovara jedna točka u Γ koju zovemo imaginarnom točkom danog sustava, a cijeli prostor Γ faznim prostorom. Budući da je stanje mehaničkog sustava u svakom trenutku t jedinstveno odredeno stanjem u nekom fiksnom trenutku t_{0}, onda će i gibanje imaginarne točke u Γ, što predstavlja promjenu stanja danog sustava, biti jedinstveno odredeno njenim položajem u t_{0}. Krivulja koju odreduje to gibanje zove se trajektorija. Slijedi da kroz svaku točku faznog prostora prolazi točno jedna trajektorija.

Pogledajmo vremenski interval [t_{0}, t]. U tom vremenu svaka točka P_{0} ∈ Γ prijede u drugu, jedinstveno odredenu točku P, dakle cijeli prostor Γ se transformira u samog sebe. Ovo gibanje faznog prostora zove se prirodno gibanje i ima sljedeće svojstvo: premještaj svake točke u intervalu Δt = t−t_{0} ovisi o njegovoj duljini i o položaju u t_{0}, ali ne i o izboru t_{0}. To svojstvo uvjetuje stacionarnost gibanja, to jest brzina točaka faznog prostora ovisi jedino o njihovom položaju, i ne mijenja se s vremenom. U nastavku Hamiltonove varijable q_{1}, ⋯, p_{s} danog sustava G zvat ćemo dinamičkim koordinatama njegove imaginarne točke u prostoru Γ i označavati slovom P, a svaku funkciju tih varijabli zvat ćemo faznom funkcijom (Hamiltonova funkcija je primjer fazne funkcije). Radi jednostavnosti zapisa uzet ćemo i da je t_{0} = 0.

Definirajmo još invarijantan dio Γ′ ⊆ Γ kao svaki podskup faznog prostora koji se tokom prirodnog gibanja transformira u samog sebe.

Svako neprekidno preslikavanje faznog prostora u samog sebe ne mora biti njegovo prirodno gibanje, budući da ono ima i neka dodatna svojstva koja opisuju sljedeća dva teorema.

Teorem 1. (Liouville) Neka je M (u smislu Lebesguea) izmjeriv skup točaka faznog prostora Γ danog mehaničkog sustava, koji u prirodnom gibanju faznog prostora u vremenu t prelazi u M_{t} ⊆ Γ. Tada vrijedi:

λ(M) = λ(M_{t}) ,

gdje je s λ označena Lebesqueova mjera (volumen) na R^{2s}.

Kinetička teorija plinova

Dem. Uvedimo nove oznake radi jednostavnosti:

x_{i} = q_{i}, x_{s+i} = p_{i} ,

X_{i} = \frac{∂H}{∂p_{i}} X_{s+i} = −\frac{∂H}{∂q_{i}} ,

za i = 1, 2, ⋯, s .

U novim oznakama raspisane jednadžbe (1) glase

(2)  \{ \begin{matrix}\frac{dx_{1}}{dt} & = X_{1}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{2s}) \\ & ⋯ \\ \frac{dx_{2s}}{dt} & = X_{2s}(x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{2s}) , \end{matrix}

odakle primjenom Schwarzovog teorema o simetriji derivacije slijedi

∑_{i=1}^{2s} \frac{∂X_{i}}{∂x_{i}} = 0 .

Ako su x_{i}^{(0)}(i = 1, 2, ⋯, s) početne vrijednosti varijabli x_{i} (u trenutku 0), onda je jedinstveno rješenje sustava (2) sljedećeg oblika:

x_{i} = f_{i}(t; x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, ⋯, x_{2s}^{(0)}) .

U integralu

λ(M_{t}) = ∫_{M_{t}} dx_{1} ⋯ dx_{2s}

zamijenimo varijable stavljajući:

x_{i} = f_{i}(t; y_{1}, ⋯, y_{2s}) ,

gdje t shvaćamo kao pomoćni parametar.

Budući da je (y_{1}, ⋯, y_{2s}) ∈ M ako i samo ako je (x_{1}, ⋯, x_{2s}) ∈ M_{t}, vrijedi da je

λ(M_{t}) = ∫_{M} J(t; y_{1} ⋯ y_{2s})dy_{1} ⋯ dy_{2s} ,

gdje je s J označen jakobijan

J(t; y_{1}, ⋯, y_{2s}) = \frac{∂(x_{1} ⋯ x_{2s})}{∂(y_{1}, ⋯, y_{2s})} .

Deriviranjem po parametru t dobivamo

(3)  \frac{dλ(M_{t})}{dt} = ∫_{M} \frac{∂J}{∂t} dy_{1} ⋯ dy_{2s} .

Vrijednost \frac{∂J}{∂t} možemo izračunati pomoću pravila za derivaciju determinante. Na taj način imamo da je:

(4)  \frac{∂J}{∂t} = ∑_{i=1}^{2s} J_{i}

pri čemu je

J_{i} = \frac{∂(x_{1}, ⋯, x_{i−1}, \frac{∂x_{i}}{∂t} , x_{i+1}, ⋯, x_{2s})}{∂(y_{1}, ⋯, y_{2s})}  (1 ≤ i ≤ 2s).

Zbog toga što su x_{i} funkcije samo po varijabli t i relacije (2) imamo da je:

J_{i} = \frac{∂(x_{1}, ⋯, x_{i−1}, X_{i}, x_{i+1}, ⋯, x_{2s})}{∂(y_{1}, ⋯, y_{2s})}  (1 ≤ i ≤ 2s) .

Medutim,

\frac{∂X_{i}}{∂y_{k}} = ∑_{r=1}^{2s} \frac{∂X_{i}}{∂x_{r}} \frac{∂x_{r}}{∂y_{k}}  (1 ≤ i ≤ 2s, 1 ≤ k ≤ 2s) ,

J_{i} = ∑_{r=1}^{2s} \frac{∂X_{i}}{∂x_{r}} \frac{∂(x_{1}, ⋯, x_{i−1}, x_{r}, x_{i+1}, ⋯, x_{2s})}{∂(y_{1}, ⋯, y_{2s})} .

U gornjoj sumaciji jedino je član uz r = i različit od nule, pa je

J_{i} = J \frac{∂X_{i}}{∂x_{i}} .

Uvrštavajući taj izraz u (4) dobijemo

\frac{∂J}{∂t} = J ∑_{i=1}^{2s} \frac{∂X_{i}}{∂x_{i}} = 0 .

Sada zbog (3) vrijedi:

\frac{dλ(M_{t})}{dt} = 0 .

Q.E.D.

Gledajmo sada točku P ∈ Γ. U prirodnom gibanju kroz vremenski interval t ona prelazi u jedinstveno odredenu točku, koju ćemo označavati s P_{t}. Za proizvoljnu faznu funkciju f definirajmo funkciju f_{1} na R × Γ izrazom:

f_{1}(t, P) = f(P_{t}) .

Neka je M Lebesque–izmjeriv podskup konačne mjere faznog prostora, a f fazna funkcija Lebesque–integrabilna na Γ. Zamjenom varijabli dobivamo sljedeće jednakosti:

∫_{M_{t}} f(P)dV_{t} = ∫_{M} f(P_{t})dV = ∫_{M} f_{1}(t, P)dV .

Zbog Liouvilleovog teorema je dV = dV_{t}, pa slijedi:

∫_{M_{t}} f(P)dV = ∫_{M} f_{1}(t, P)dV .

U slučaju da je M invarijantan skup (M_{t} = M) imamo:

∫_{M} f(P)dV = ∫_{M} f_{1}(t, P)dV .

Teorem 2. (Birkhoff) Neka je M Lebesque–izmjeriv podskup konačne mjere u faznom prostoru, a f Lebesque–integrabilna fazna funkcija na M. Tada za skoro svaku točku P ∈ M postoji limes

lim_{C→∞} \frac{1}{C} ∫_{0}^{C} f_{1}(t, P)dt ,

a taj limes postoji skoro svuda i kad C → −∞.

Veličina (1/C) ∫_{0}^{C} f_{1}(P, t)dt je srednja vrijednost funkcije f duž trajektorije koja prolazi kroz P, u vremenskom intervalu ⟨0, C⟩. Limes ove vrijednosti kad C → ∞ zovemo vremenskim usrednjenjem funkcije f na trajektoriji kroz točku P. Drugačije iskazano, Birkhoffov teorem kaže da za integrabilnu funkciju postoji vremensko usrednjenje na trajektoriji koja u času t = 0 prolazi kroz P, za skoro svaki P. Dokaz teorema se može naći u [H, str. 20].

Proučimo sada jedan primjer fazne funkcije. S fizičkog stanovišta najvažnija fazna funkcija je energija E(q_{1}, ⋯, q_{s}, p_{1}, ⋯, p_{s}) .

U izoliranom mehaničkom sustavu energija je konstantna. To znači da je za svaki a ∈ R skup E^{←}(a) invarijantan podskup od Γ; takve podskupove ćemo zvati površine konstantne energije.

Uvedimo oznaku Σ_{x} za površinu konstantne energije E = x.

Pretpostavit ćemo da za naš mehanički sustav vrijede sljedeće četiri pretpostavke koje su obično ispunjene u sustavima razmatranim u statističkoj mehanici:

1) Nenegativnost funkcije E. Taj se zahtjev može uvijek ispuniti namještanjem aditivne konstante u formuli za potencijalnu energiju.

2) Dio faznog prostora definiranog nejednakošču E < x je jednostruko povezano područje ograničeno površinom Σ_{x}.

3) Σ_{x} je zatvoren i dovoljno gladak skup.

4) Za x_{1} < x_{2} je Σ_{x_{1}} unutar područja omedenog sa Σ_{x_{2}}, pa familiju (Σ_{x}, x ∈ R_{0}^{+}) možemo predočiti familijom koncetričnih sfera. Osim ovih pretpostavki u mehaničkom sustavu vrijedi i to da je ukupna energija

podudarna s Hamiltonovom funkcijom.

Zbog zakona sačuvanja energije za M ⊆ Σ_{x} vrijedi i M_{t} ⊆ Σ_{x}, t ∈ R; . Problem s kojim se sada suočavamo je definiranje mjere na Σ_{x}. Naime, ako za M ⊆ Σ_{x} definiramo mjeru

m(M) := ∫_{M} dΣ ,

onda ta mjera neće biti invarijantna s obzirom na prirodno gibanje, to jest za nju neće vrijediti Birkhoffov i Liouvilleov teorem. Zato želimo uvesti novu mjeru na Σ_{x}.

Razmotrimo sada dvije infinitezimalno bliske površine Σ_{x} i Σ_{x+Δx}, a skup omeden njima označimo s D. Tada je zbog Liouvilleovog teorema volumen

∫_{D} dV

invarijantan s obzirom na prirodno gibanje.

Označimo s n normalu na površinu Σ_{x}. Gornji se integral može napisati na sljedeći način:

∫_{D} dV = ∫_{x}^{x+Δx} ∫_{M} dΣdn

i vrijedi

(5)  ∫_{x}^{x+Δx} ∫_{M_{t}} dΣdn = ∫_{x}^{x+Δx} ∫_{M} dΣdn .

Kako je dx_{i} = cos(n, x_{i})dn, to imamo

Δx = dE = ∑_{i=1}^{2s} \frac{∂E}{∂x_{i}} dx_{i} = ∑ \frac{∂E}{∂x_{i}} cos(n, x_{i})dn .

Zbog

cos(n, x_{i}) = \frac{∂E/∂x_{i}}{|∇E|}

vrijedi

(6)  dE = \frac{∑{2s \atop i=1}(\frac{∂E}{∂x_{i}} )2}{|∇E|} dn = |∇E|dn ,

pa možemo definirati mjeru μ na ∑_{x}:

μ(M) := ∫_{M} \frac{dΣ}{|∇E|} .

Koristeći (5) i (6) vidimo da mjera μ zadovoljava Liouvilleov teorem, to jest

(7)  μ(M_{t}) = μ(M) .

Ukoliko želimo normirati mjeru μ, tada je možemo predefinirati na sljedeći način:

μ_{0}(M) := \frac{μ(M)}{μ(Σ_{x})} .

2. Liouvilleova jednadžba

Razmatrat ćemo slučaj plina s N molekula i uvesti funkciju gustoće ρ, definirane tako da integral

∫_{D} ρ(t, p, q)d^{s}p d^{s}q

predstavlja broj molekula koje se u trenutku t nalaze u skupu D ⊆ Γ.

Funkcija gustoće zadovoljava Liouvilleovu jednadžbu:

\frac{dρ}{dt} = \frac{∂ρ}{∂t} + ∑_{i=1}^{s}(\frac{∂ρ}{∂p_{i}} \frac{dp_{i}}{dt} + \frac{∂ρ}{∂q_{i}} \frac{dq_{i}}{dt}) = 0 .

Smisao jednadžbe je da prirodno gibanje točaka u faznom prostoru, shvaćeno kao gibanje fluida, ima svojstvo inkompresibilnosti toka.

Da bismo dokazali da Liouvilleova jednadžba vrijedi za funkciju ρ, uzmimo proizvoljni volumni element ω u Γ, i sa S označimo njegov rub. Tada vrijedi

(8)  \frac{d}{dt} ∫_{ω} ρdΓ = ∫_{S} n · vρdS ,

gdje je n jedinična normala na rub S, a v je 2s-dimenzionalna brzina:

v = (q̇_{1}, ⋯, q̇_{s}, ṗ_{1}, ⋯, ṗ_{s}) .

Na osnovu teorema o divergenciji imamo:

∫_{ω} div vρdΓ = − ∫_{S} n · vρdS ,

pa kombinirajući gornju relaciju s (8) i koristeći proizvoljnost skupa ω dobivamo

\frac{∂ρ}{∂t} + div (ρv) = 0 .

Raspisivanjem slijedi

−\frac{∂ρ}{∂t} = div (ρv)

= ∑_{i=1}^{s} [\frac{∂}{∂q_{i}} (ρq̇_{i}) + \frac{∂}{∂p_{i}} (ρṗ_{i})]

= ∑_{i=1}^{s} [\frac{∂ρ}{∂q_{i}} · q̇_{i} + \frac{∂ρ}{∂p_{i}} · ṗ_{i}] + ∑_{i=1}^{s} ρ [\frac{∂}{∂p_{i}} ṗ_{i} + \frac{∂}{∂q_{i}} q̇_{i}] .

Iz Hamiltonovog sustava jednadžbi slijedi da su članovi u drugoj sumaciji u zadnjoj jednakosti jednaki nuli, pa ona prelazi u Liouvilleovu jednadžbu i time je dokaz gotov.

3. Poincaréov teorem

Mehanički sustav zatvoren u konačni volumen s konačnom energijom će se u konačnom vremenu vratiti u proizvoljnu blizinu skoro svakog početnog stanja. Preciznije, vrijedi sljedeći

Teorem 3. (Poincaré) Ako za proizvoljno malen A ⊆ Σ_{x} ⊆ Γ s B ⊆ A označimo skup svih točaka koje se ne vraćaju u A nakon što ga jednom napuste, onda je μ(B) = 0. Dem. Označimo s B_{1}, B_{2}, B_{3}, … područja dobivena prirodnim gibanjem skupa B nakon vremena t, 2t, . . .. Zbog definicije skupa B možemo uzeti t dovoljno velik tako da je B∩B_{t} = ∅. Tvrdimo da je tada

(∀n, k) , B_{n} ∩ B_{n+k} = ∅ .

U suprotnom bi činjenica da je P ∈ B_{n} ∩ B_{n+k} zbog nepresijecanja trajektorija povlačila da je P ∈ B_{n−1} ∩ B_{n+k−1} i dalje induktivno da je P ∈ B ∩ B_{k}, što je u kontradikciji s definicijom skupa B.

Zbog (7) vrijedi da je μ(B) = μ(B_{1}) = …, pa ako je μ(B) > 0 slijedi da je mjera cijele energetske površine neograničena, što je u suprotnosti s pretpostavkom teorema, pa je zato

μ(B) = 0 .

Q.E.D.

Vrijeme koje je potrebno sustavu da se vrati u početno stanje zove se Poincaréov krug.

II. Izvod Boltzmannove jednadžbe

1. Fazni prostor i Liouvilleova jednadžba za plin

U razmatranju plina s N molekula uvest ćemo 6N-dimenzionalni vektor z koji se sastoji od komponenata vektora položaja x_{i} i brzina ξ_{i} čestica, te 6N-dimenzionalni vektor Z koji se sastoji od komponenata brzina ξ_{i} i sila na česticu po jedinici mase X_{i}. Pripadni fazni prostor je skup Γ = Ω^{N} ×R^{3N}, gdje je Ω ⊆ R^{3} dio prostora u kojem se gibaju čestice plina. Novouvedeni vektori x i ξ odgovaraju vektorima q i p iz Hamiltonovog sustava, a broj stupnjeva slobode s jednak je 3N (svakoj čestici pripadaju tri stupnja slobode). Mi ćemo razmatrati samo hamiltonijane oblika

H(p, q) = ∑_{i=1}^{3N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} + V (q_{1}, q_{2}, ⋯, q_{3N}) ,

gdje suma predstavlja kinetičku energiju sustava, a funkcija V potencijalnu energiju. U daljnjem radu ćemo pretpostavljati fizikalnu situaciju u kojoj možemo zanemarivati potencijalnu energiju, to jest uzet ćemo V = 0, pa Hamiltonove jednadžbe poprimaju sljedeći oblik:

\{ \begin{matrix}q̇ & = p \\ ṗ & = 0 . \end{matrix}

Zadnja jednadžba iskazuje činjenicu da u našem sustavu nisu prisutne sile. Pomoću vektora x i ξ gornji sustav jednadžbi se može zapisati na sljedeći način:

(1)  ż = Z ,

što je upravo Newtonov sustav jednadžbi gibanja, koji je sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, pa vrijednost rješenja z u početnom trenutku odreduje vrijednost rješenja z u svakom drugom trenutku.

Ako ne znamo početne vrijednosti s apsolutnom točnošću, moramo uvesti vjerojatnosnu distribuciju P (t, z), koja predstavlja gustoću vjerojatnosti nalaženja točke u faznom prostoru u trenutku t. Preciznije, vjerojatnost nalaženja točke z u skupu D ⊆ Γ u trenutku t jednaka je integralu

∫_{D} P (t, z)dz .

Imajući zadanu početnu vjerojatnosnu distribuciju P_{0} := P (0, z), želimo izračunati distribucije P (t, z) u kasnijim trenucima. Da bismo to postigli, potrebno je odrediti evolucijsku jednadžbu za P (t, z).

Intuitivan način na koji se to može postići je sljedeći. Na vjerojatnosnu distribuciju možemo gledati kao na gustoću naše točke u faznom prostoru, pa zakon sačuvanja mase daje

\frac{∂P}{∂t} + div (P Z) = 0 .

Koristeći relaciju

div (P Z) = Z · ∇_{z}P + P div Z ,

medusobnu neovisnost varijabli prostora i brzine, te odsustvo sila, imamo

div Z = ∑(div_{x_{i}}ξ_{i} + div_{ξ_{i}}X_{i}) = 0 .

Iz gornjih relacija slijedi Liouvilleova jednadžba:

\frac{∂P}{∂t} + Z · ∇_{z}P = 0 .

Izvod Boltzmannove jednadžbe

Relacija (1) jedinstveno odreduje prirodno gibanje faznog prostora, pa je zato svakoj točki z_{0} pridružena jedinstvena točka z(t, z_{0}) u koju se z preslika u vremenskom intervalu t. Prirodno gibanje, kako je pokazano u prvom poglavlju, zadovoljava Liouvilleov teorem:

(2)  ∫_{R} dz = ∫_{R_{0}} J(z/z_{0})dz_{0} = ∫_{R_{0}} dz_{0} ,

koji slijedi iz činjenice da je \frac{∂J}{∂t} = 0 i J(z_{0}/z_{0}) = 1.

Liouvilleova jednadžba i teorem su oboje izvedeni uz pretpostavku glatkoće funkcija z i Z. Medutim, često je korisno razmatrati granični slučaj u kojem sustav ima samo diskretna medudjelovanja s konačnim impulsima, što je dobra aproksimacija za jake odbojne sile kojima molekule medusobno djeluju na veoma malim udaljenostima. Ovakva razmatranja dovode do pojma plina satavljenog od čvrstih lopti, tzv. biljarskih kugli, koje medusobno ne djeluju na dovoljno velikoj udaljenosti, a pri sudaru se elastično odbijaju. Promjer molekula σ tada odgovara dometu medumolekularne odbojne sile. Ovakva interpretacija nam kvari glatkoću funkcija z i Z, koje više nisu ni neprekidne jer prilikom sudara molekula dolazi do trenutne promjene njihovih brzina. Pokazat ćemo da usprkos tome Liouvilleov teorem sačuvanja volumena i dalje vrijedi. Dokaz se zasniva na činjenici da jakobijan transformacije varijable z prilikom sudara ostaje jednak 1. Pogledajmo to detaljnije.

U sudaru dvije identične kugle, njihove brzine (ξ′_{1}, ξ′_{2}) prije i (ξ_{1}, ξ_{2}) poslije sudara su povezane relacijama:

(3)  \begin{aligned}ξ_{1} & = ξ′_{1} − n[n · (ξ′_{1} − ξ′_{2})] \\ ξ_{2} & = ξ′_{2} − n[n · (ξ′_{2} − ξ′_{1})] , \end{aligned}

gdje je n jedinični vektor u smjeru vektora koji spaja središta dviju kugli. Relacije se dobiju iz zakona sačuvanja energije i impulsa.

Lako se provjeri da su relacije reverzibilne, tj. da vrijede sljedeće jednakosti:

\begin{aligned}ξ′_{1} & = ξ_{1} − n[n · (ξ_{1} − ξ_{2})] \\ ξ′_{2} & = ξ_{2} − n[n · (ξ_{2} − ξ_{1})] . \end{aligned}

Iz ovoga slijedi da se komponente brzina dviju čestica prilikom sudara linearno transformiraju. Matricu te transformacije označimo s A. Njen inverz A^{−1} je jednak A, pa je zato A^{2} jedinična matrica. Njezina determinanta, odnosno jakobijan transformacije koordinata brzina J_{1} je zato jednak ±1. Pokazat ćemo da je on upravo jednak −1.

Uvedimo sljedeću transformaciju varijabli:

\overline{ξ}′ = \frac{1}{2}(ξ′_{1} + ξ′_{2}), \overline{ξ} = \frac{1}{2}(ξ_{1} + ξ_{2}) ,

V′ = ξ′_{1} − ξ′_{2}, V = ξ_{1} − ξ_{2} .

Nove varijable odgovaraju brzinama centara mase, odnosno relativnim brzinama dviju čestica, prije i poslije sudara.

Koristeći (3) vidimo da su nove varijable medusobno povezane relacijama

\begin{aligned}\overline{ξ} & = \overline{ξ}′ \\ V & = V′ − 2n(n · V) . \end{aligned}

Jakobijan ove transformacije je očigledno −1. Ako s J_{0} označimo jakobijan transformacija (ξ′_{1}, ξ′_{2}) ↦ (\overline{ξ}′, V′) i (ξ_{1}, ξ_{2}) ↦ (\overline{ξ}, V) (one očigledno imaju jednake Jakobijane), dobijemo za jakobijan transformacije (3):

\begin{aligned}J_{1} & = J(ξ_{1}, ξ_{2}|ξ′_{1}, ξ′_{2}) = J(ξ_{1}, ξ_{2}|\overline{ξ}, V)J(\overline{ξ}, V|\overline{ξ}′, V′)J(\overline{ξ}′, V′|ξ′_{1}, ξ′_{2}) \\ & = (1/J_{0}) · (−1) · J_{0} = −1 . \end{aligned}

Jakobijan transformacije J varijable z prilikom sudara jednak je produktu Jakobijana J_{1} i J_{2} koji odgovaraju transformaciji varijabli brzine i položaja (zbog nezavisnosti varijabli x i ξ).

Činjenica da je J_{2} = −1 može se intuitivno dosta lako prihvatiti, heuristički je to izvedeno u [C, str. 17], dok se strogi dokaz toga može naći u [S, str. 1297].

Pokazali smo da je J_{1} = −1 i pozvat ćemo se na to da je J_{2} = −1, pa je J = 1, čime smo dokazali sačuvanje volumena u faznom prostoru.

Uzmimo proizvoljan skup D_{0} ⊆ Γ i sa D označimo njegovu sliku u prirodnom gibanju faznog prostora, tj. D = T^{t}D_{0}. Vjerojatnost da je z_{0} ∈ D_{0} jednaka je vjerojatnosti z = T^{t}z_{0} ∈ D, pa koristeći transformaciju varijabli dobivamo:

∫_{D_{0}} P_{0}(z_{0})dz_{0} = ∫_{D} P (t, z)dz = ∫_{D_{0}} P (t, T^{t}z_{0})J(z/z_{0})dz_{0} .

Zbog proizvoljnosti skupa D_{0} lokalizacijom slijedi:

P (t, T^{t}z_{0})J(z/z_{0}) = P_{0}(z_{0}) .

Pokazali smo da je J(z/z_{0}) = 1, što nam daje

P (t, T^{t}z_{0}) = P_{0}(z_{0}) ,

tj. funkcija P je konstantna na trajektoriji svake točke i vrijedi Liouvilleova jednadžba:

(4)  \frac{∂P}{∂t} + ∑_{i=1}^{N} ξ_{i} · ∇_{x_{i}}P = 0 .

Gornju jednadžbu moramo nadopuniti odgovarajućim početnim i rubnim uvjetima. Početni uvjeti su zadani funkcijom distribucije P_{0} u trenutku t = 0. Rubni uvjeti se moraju zadati čak i ako naš plin nije zatvoren u neki konačni volumen, jer su područja koja odgovaraju preklapanju dviju kugli isključena iz faznog prostora. Zato moramo predefinirati fazni prostor Γ = Ω^{N} × R^{3N}, isključujući iz njega sve točke koje zadovoljavaju

(∃i, j ∈ {1, 2, ⋯, N}) i ≠ j & |x_{i} − x_{j}| < σ ,

gdje je σ promjer svake kugle.

Na rubovima isključenih područja moramo zadati rubne uvjete tako da P ostane konstanta na trajektoriji. Budući da funkcija brzine ima prekid na rubu, moramo zahtijevati da P poprima istu vrijednost u z′ i z, gdje z′ i z predstavljaju točke na rubu koje odgovaraju stanju sustava prije i poslije sudara. Detaljnije:

(5)  P (t, x_{1}, ξ_{1}, ⋯, x_{i}, ξ_{i}, ⋯, x_{j}, ξ_{j}, ⋯, x_{N}, ξ_{N}) =
P (t, x_{1}, ξ_{1}, ⋯, x_{i}, ξ_{i} − n_{ij}(n_{ij} · V_{ij}), ⋯, x_{j}, ξ_{j} + n_{ij}(n_{ij} · V_{ij}), ⋯, x_{N}, ξ_{n})

za

|x_{i} − x_{j}| = σ (i ≠ j) ,

gdje je V_{ij} = ξ_{i} − ξ_{j}, a n_{ij} jedinični vektor u smjeru vektora koji spaja središta i-te i j-te kugle.

U slučaju da se Ω ne sastoji od cjelokupnog prostora R^{3}, moramo zadati i rubne uvjete na granici koja zatvara naš plin. Najčešće se tu zadaju uvjeti zrcalne refleksije (ξ′_{i} = ξ_{i} − n_{i}(n_{i} · ξ_{i})), a njihovo fizičko značenje odgovara elastičnom srazu sa stijenkom.

2. Heuristički izvod Boltzmannove jednadžbe

Liouvilleova jednadžba, koju smo dosad razmatrali, ne može se koristiti u praktičnom računu zbog velikog broja varijabli (reda 10^{20}). To su imali na umu Maxwell i Boltzmann kad su počeli raditi s funkcijom distribucije jedne čestice P^{(1)}(t, x, ξ). Ta funkcija zavisi samo od sedam varijabli, to jest komponenata vektora položaja x i brzine ξ i vremena t. Boltzmann je pomoću heurističkih argumenata izveo jednadžbu za P^{(1)} i sada ćemo prikazati taj izvod.

Prvo ćemo precizno definirati funkciju P^{(1)}(t, x, ξ); ona predstavlja vjerojatnost nalaženja fiksne čestice (označimo je s 1) u točki (x, ξ) ∈ Γ u trenutku t. P^{(1)} i P su povezane jednostavnom relacijom

P^{(1)}(t, x, ξ) = ∫_{Ω^{N−1}×R^{3N−3}} P (t, x_{1}, ξ_{1}, x_{2}, ξ_{2}, ⋯, x_{N}, ξ_{N})dx_{2}dξ_{2} ⋯ dx_{N}dξ_{N} .

U odsutnosti sudara P^{(1)} takoder zadovoljava jednadžbu (4) kao i P (s jedinom razlikom da moramo uzeti N = 1). Ostaje nam izračunati posljedice sudara na evolucijsku jednadžbu za P^{(1)}. Vjerojatnost sudara naše fiksne čestice bit će povezana s vjerojatnošću nalaženja bilo koje druge čestice s centrom udaljenim od centra prve čestice točno σ. Iz toga zaključujemo da će nam u evolucijskoj jednadžbi za P^{(1)} trebati uvrstiti novu funkciju P^{(2)}, koja odreduje vjerojatnosnu distribuciju za dvije fiksne čestice. P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{2}, ξ_{2}) dakle predstavlja vjerojatnost (točnije gustoću vjerojatnosti) nalaženja prve čestice u točki (x_{1}, ξ_{1}) i druge u (x_{2}, ξ_{2}) u trenutku t. Definirajmo uz to funkcije L i G na sljedeći način. Za D ⊆ Γ integral

∫_{D} ∫_{t}^{t+h} Ldsdx_{1}dξ_{1}

predstavlja očekivani broj čestica u dijelu faznog prostora D, koje u vremenskom intervalu h napuste taj dio faznog prostora. Na sličan način se definira funkcija G takva da

∫_{D} ∫_{t}^{t+h} Gdsdx_{1}dξ_{1}

predstavlja očekivani broj čestica koje u vremenskom intervalu h udu u dio faznog prostora D. Tada za P^{(1)} vrijedi sljedeća jednakost:

(6)  \frac{∂P^{(1)}}{∂t} + ξ_{1} · ∇_{x_{1}}P = G − L .

Jasno je da za dovoljno mali skup D i vremenski interval h, čestica koja se nalazi u D će napustiti taj skup prilikom svakog sudara, pa ono što treba izračunati je vjerojatnost sudara čestice 1 s bilo kojom drugom česticom. Budući da preostalih čestica ima N − 1, i one su identične, dovoljno je računati vjerojatnost sudara s jednom odredenom česticom koju ćemo zvati čestica 2.

U računu ćemo se poslužiti jednostavnim trikom; česticu 1 ćemo zamisliti kao stacionarnu kuglu s dvostruko većim promjerom od stvarnog, a česticu 2 kao točku s brzinom V_{2} = ξ_{2} − ξ_{1}. Neka je x_{2} točka na sferi radijusa σ s centrom u x_{1} i neka je σn vektor koji spaja x_{1} i x_{2}, pri čemu je n jedinični vektor. Nadalje, neka je dS = σ^{2}dn infinitezimalno područje na sferi oko x_{2} (dn je infinitezimalno područje na sferi oko vrha vektora n). Čestica 2 s brzinom ξ_{2} će pogoditi područje dS na sferi u vremenskom intervalu dt samo ako se nalazi u cilindru visine |V_{2} · n|dt s bazom dS. Zato je vjerojatnost sudara čestica 1 i 2 na dijelu sfere dS s vrijednostima unutar intervala [x_{1}, x_{1} + dx_{1}], [ξ_{1}, ξ_{1} + dξ_{1}], [x_{2}, x_{2} + dx_{2}], [ξ_{2}, ξ_{2} + dξ_{2}], [t, t + dt] jednaka P (2)(t, x_{1}, x_{2}, ξ_{1}, ξ_{2})dx_{1}dξ_{1}dξ_{2}σ^{2}dn|V_{2} · n|dt. Ako želimo izračunati ukupnu vjerojatnost sudara moramo integrirati brzinu ξ_{2} po R^{3} i položaj x_{2} po dijelu sfere na kojem je V_{2} · n < 0 (čestice se kreću jedna prema drugoj, tj. doći će do sudara), pa dobivamo

L = (N − 1) ∫_{R^{3}} ∫_{S_{−}} P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{1} + σn, ξ_{1}, ξ_{2})|V_{2} · n|σ^{2}dndξ_{2} ,

gdje je sa S_{−} označena hemisfera na kojoj je V_{2} · n < 0.

Na analogni način se nalazi izraz za funkciju G, s time da se sada gledaju brzine ξ_{1} i ξ_{2} poslije sudara, pa moramo integrirati po hemisferi S_{+} definiranoj relacijom V_{2} · n > 0. Tako dobijemo

G = (N − 1) ∫_{R^{3}} ∫_{S_{+}} P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{1} + σn, ξ_{1}, ξ_{2})|V_{2} · n|σ^{2}dndξ_{2} .

Sada jednadžbu (6) možemo zapisati u obliku:

\frac{∂P^{(1)}}{∂t} + ξ_{1} · ∇_{x_{1}}P = (N − 1) ∫_{R^{3}} ∫_{S} P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{1} + σn, ξ_{1}, ξ_{2})V_{2} · nσ^{2}dndξ_{2} .

U gornjem integralu smo ispustili apsolutnu vrijednost, a umjesto po hemisferi integriramo po cijeloj sferi S.

Gornja jednadžba još uvijek nam nije od velike koristi. Ono što se želi dobiti je jednadžba koja će sadržavati samo funkciju P^{(1)}. Tu jednadžbu je napisao Boltzmann i ona nosi njegovo ime.

Sljedeće što ćemo iskoristiti je neprekidnost vjerojatnosne distribucije P prilikom sudara. Stavljajući i = 1 i j = 2 u jednakost (5) i integrirajući po vektorima brzine i položaja preostalih N − 2 čestica, dobijemo:

P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{2}, ξ_{2}) = P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1} − n(n · V), x_{2}, ξ_{2} + n(n · V))

za |x_{1} −x_{2}| = σ, pri čemu smo V pisali umjesto V_{12}, a n umjesto n_{12}. Radi kraćeg zapisa, koristit ćemo oznake

(7)  \begin{aligned}ξ′_{1} & = ξ_{1} − n(n · V) \\ ξ′_{2} & = ξ_{2} + n(n · V) . \end{aligned}

Koristeći gornje relacije možemo ovako pisati izraz za funkciju G poprima oblik:

(8)  G = (N − 1)σ^{2} ∫_{R^{3}} ∫_{S_{+}} P^{(2)}(t, x_{1}, ξ′_{1}, x_{1} + σn, ξ_{1}, ξ′_{2})|V_{2} · n|dndξ_{2} .

U ovom trenutku potrebno je uvesti dodatne pretpostavke, Boltzmannove argumente. U razrijedenom plinu broj čestica N je veoma velik, a σ malen. Na primjer uzmimo da imamo plin zatvoren u kutiju volumena 1 cm^{3} pri sobnoj temperaturi i pri atmosferskom tlaku. Tada je N ≅ 10^{20} i σ ≅ 10^{−8}cm, pa procjenjujemo da je (N − 1)σ^{2} ≅ Nσ^{2} = 1 m^{2}, što je značajna veličina, dok razliku izmedu x i x + σn možemo zanemariti. Zato ćemo koristiti tzv. Boltzmann-Gradov limes pri kojem N → ∞, σ → 0, a Nσ^{2} ostaje konstantan.

Osim toga, budući da volumen koji zauzimaju čestice iznosi Nσ^{3} ≅ 10^{−4} cm^{3}, sudar dviju odredenih čestica je malo vjerojatan slučaj. Zato se za čestice prije sudara može pretpostaviti da su statistički neovisne, tj. da za njih vrijedi relacija

P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{2}, ξ_{2}) = P^{(1)}(t, x_{1}, ξ_{1})P^{(1)}(t, x_{2}, ξ_{2}) ,

ili preciznije zapisano

P^{(2)}(t, x_{1}, ξ_{1}, x_{1} + σn, ξ_{2}) = P^{(1)}(t, x_{1}, ξ_{1})P^{(1)}(t, x_{1} + σn, ξ_{2})

za

(ξ_{2} − ξ_{1}) · n < 0 .

Naravno, pretpostavka o statističkoj neovisnosti se ne može proširiti i na čestice koje su se upravo sudarile. Ovo sad možemo primijeniti na izraz za L, budući da se tu razmatraju čestice koje se tek trebaju sudariti. Problem je kako primijeniti statističku neovisnost na izraz za funkciju G. Rješenje se nalazi u pisanju izraza za G u obliku (8), budući da transformacija (7) preslikava hemisferu S^{+} na hemisferu S^{−}.

Uzimajući u obzir sve Boltzmannove pretpostavke, dobivamo sljedeće izraze za funkcije G i L:

G = Nσ^{2} ∫_{R^{3}} ∫_{S_{+}} P^{(1)}(t, x_{1}, ξ′_{1})P^{(1)}(t, x_{2}, ξ′_{2})|(ξ_{2} − ξ_{1}) · n|dξ_{2}dn ,

L = Nσ^{2} ∫_{R^{3}} ∫_{S_{−}} P^{(1)}(t, x_{1}, ξ_{1})P^{(1)}(t, x_{2}, ξ_{2})|(ξ_{2} − ξ_{1}) · n|dξ_{2}dn .

Uvrštavajući ove izraze u relaciju (6) konačno dobivamo Boltzmannovu jednadžbu:

\frac{∂P^{(1)}}{∂t} + ξ_{1} · ∇_{x_{1}}P

= Nσ^{2}∫_{R^{3}} ∫_{S_{−}}[P^{(1)}(t, x_{1}, ξ′_{1})P^{(1)}(t, x_{2}, ξ′_{2})−P^{(1)}(t, x_{1}, ξ_{1})P^{(1)}(t, x_{2}, ξ_{2})]|(ξ_{2}−ξ_{1})·n|dξ_{2}dn .

Boltzmannovu jednadžba je evolucijska jednadžba za P^{(1)} koja u sebi ne sadrži P^{(2)} i to je njena glavna prednost. Pisanje jednadžbe možemo sada pojednostavniti. Kao prvo možemo ispustiti indeks ^{(1)} koji nam više ne treba, a umjesto varijabli ξ_{1} i ξ_{2} pisat ćemo ξ i ξ_{∗}. Jednadžbu ćemo tada napisati na sljedeći način

\frac{∂P}{∂t} + ξ · ∇_{x_{1}}P = Nσ^{2} ∫_{R^{3}} ∫_{S_{−}}(P′P′_{∗} − P P_{∗})|V · n|dξ_{∗}dn .

Treba pojasniti da je P funkcija od t, x i ξ; P_{∗} od t, x i ξ_{∗}; P′_{∗} od t, x i ξ′_{∗}; a P′ od t, x i ξ′; gdje je

ξ′ = ξ − n(n · V), ξ_{∗} = ξ_{∗} + n(n · V), a V = ξ − ξ_{∗} .

III. Pregled analitičkih rezultata

1. L^{p} prostori

Budući da ćemo rješenje Boltzmannove jednadžbe tražiti u prostoru L^{1}, najprije se nameće potreba iskazivanja definicije L^{p} prostora.

Za p ∈ [1, ∞] Lebesgueov prostor L^{p}(R^{d}) definiramo kao Banachov prostor svih (klasa skoro svuda jednakih) izmjerivih funkcija na R^{d}, s normom

∥u∥_{L^{p}} := (∫_{R^{d}} |u(x)|^{p} dx)^{1/p} , p ∈ [1, ∞⟩
∥u∥_{L^{∞}} := inf{M ∈ R : |u(x)| ⩽ M(ss x)} .

Analogno se definiraju L^{p} prostori i na svakom Lebesgue–izmjerivom podskupu A ⊆ R^{d}.

Često ćemo koristiti i prostor L_{loc}^{p}(R^{d}) kojeg sačinjavaju sve funkcije u sa svojstvom da se za svaki kompaktan skup K, njihova restrikcija na K ⊆ R^{d} nalazi u L^{p}(K). Tome je ekvivalentna tvrdnja da je za svaku funkciju ψ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d}) produkt ψu ∈ L^{p}(R^{d}). Umjesto proizvoljne funkcije ψ možemo se u definiciji ograničiti na prikladan niz takvih funkcija (ψ_{n}). Tada je s ∥u_{n}∥ := ∥ψ_{n}u∥_{L^{p}(R^{d})} dan niz polunormi koji odreduju topologiju prostora L_{loc}^{p}(R^{d}). S tom je topologijom L_{loc}^{p}(R^{d}) Fréchetov prostor, odnosno potpun metrizabilan lokalno konveksan Hausdorffov topološki vektorski prostor.

Za eksponent p definiramo njegov konjugirani eksponent p′ preko relacije:

\frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1

(formalno, 1/∞ = 0, pa je 1′ = ∞).

Lema 1. (Hölderova nejednakost) Neka je p ∈ [1, ∞], a p′ njegov konjugirani eksponent. Ako su f i g izmjerive funkcije na R^{d}, onda vrijedi

∥fg∥_{L^{1}(R^{d})} ⩽ ∥f∥_{L^{p}(R^{d})}∥g∥_{L^{p′}(R^{d})} .

Neka je p ∈ [1, ∞], a p′ pripadni konjugirani eksponent (\frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1). Po Hölderovoj

nejednakosti svaki g ∈ L^{p′} odreduje neprekinut linearni funkcional G ∈ (L^{p})′:

G(f) := ∫ fḡ ,

Važno je da se na gornji način može prikazati svaki funkcional iz dualnog prostora (L^{p})′, štoviše ako su p, p′ ∈ ⟨1, ∞⟩ konjugirani eksponenti, onda vrijedi

(∀ φ ∈ (L^{p})′)(∃ g ∈ L^{p′})(∀ f ∈ L^{p}) φ(f) = ∫ fg

i

∥g∥_{L^{p′}} = ∥φ∥_{(L^{p})′} ,

pa je (L^{p})′ izometrički izomorfan s L^{p′}. U tom slučaju se identificira dualni prostor (L^{p})′ s prostorom L^{p′}. Ako je p = 1 (p′ = ∞), rezultat vrijedi uz dodatnu pretpostavku da je μ σ-konačna mjera. Za p = ∞ vrijedi da njegov dual strogo sadrži L^{1}.

Na kraju navedimo još iskaz jednog teorema kojeg ćemo koristiti u sljedećim poglavljima.

Pregled analitičkih rezultata

Teorem 1. (Egorov) Neka je (X, 𝔐, μ) prostor konačne mjere, a f_{n} i f neka su izmjerive kompleksne funkcije na X. Ako f_{n} ⟶ f (ss), onda

(∀ ε > 0)(∃ A ∈ 𝔐) μ(A) < ε & f_{n}|_{X\A} ⇉ f|_{X\A} .

2. Distribucije

Za otvoreni skup Ω ⊆ R^{d} definirajmo C_{c}^{∞}(Ω) kao skup svih C^{∞} funkcija čiji je nosač kompaktan. Posebno, ukoliko je Ω = R^{d} pisati ćemo D = C_{c}^{∞}(R^{d}).

Sljedeći prostor koji ćemo uvesti je Schwartzov prostor S brzoopadajućih funkcija. U tu svrhu najprije definirajmo familije polunormi

\begin{aligned}∥φ∥_{α,β} & := ∥x^{α}∂^{β}φ∥_{C} , \\ ∥φ∥_{k} & := sup_{|α+β|⩽k} ∥φ∥_{α,β} . \end{aligned}

Schwartzov prostor S je prostor svih C^{∞} funkcija φ za koje je ∥φ∥_{k} < ∞, za svaki k ∈ N_{0}. Na njemu možemo definirati prirodnu topologiju kao najslabiju topologiju u kojoj su sve polunorme ∥φ∥_{k} neprekidne. Vrijedi da je Schwartzov prostor S, zajedno s prirodnom topologijom Fréchetov prostor. Metrika na S se može zadati s

d(φ, ψ) := ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k} \frac{∥φ − ψ∥_{k}}{1 + ∥φ − ψ∥_{k}} .

Nadalje, za svaki p ∈ [1, ∞] je S ⊆ L^{p}(R^{d}).

Za dokaz osnovnog teorema u četvrtom poglavlju trebat će nam funkcije koje pomnožene s funkcijom iz S opet daju brzoopadajuću funkciju. U tu svrhu uvedimo skup funkcija najviše polinomijalnog rasta u beskonačnosti, kojeg označujemo s O. Skup O definiramo na sljedeći način: φ ∈ O ⊆ C^{∞}(R^{d}) ako

(∀ α ∈ N_{0}^{d})(∃ C ∈ R^{+})(∃ n ∈ N)(∀ x ∈ R^{d}) |∂^{α}φ(x)| ⩽ C(1 + |x|^{2})^{n} .

Nama je važna činjenica da je S je zatvoren na množenje s funkcijama iz O. Posebno nas zanimaju topološki duali uvedenih prostora. Za otvoren skup Ω ⊆ R^{d} definira se distribucija ili poopćena funkcija u na Ω kao

linearan funkcional na C_{c}^{∞}(Ω) koji je neprekinut (ograničen) u sljedećem smislu (s K_{Ω} označujemo klasu svih kompaktnih podskupova skupa Ω):

(∀ K ∈ K_{Ω})(∃ C ∈ R^{+})(∃ n ∈ N)(∀ φ ∈ C_{c}^{∞}(Ω))

supp φ ⊆ K ⟹ |⟨u, φ⟩| ⩽ C sup_{|α|⩽n} sup_{x∈K} |∂^{α}φ(x)| .

Prostor distribucija na Ω je topološki dual prostora D(Ω) = C_{c}^{∞}(Ω) i označujemo ga s D′(Ω) (posebno je D′ := D′(R^{d})).

Ako postoji broj n_{0} ∈ N_{0} takav da gornja nejednakost vrijedi za svaki K s tim brojem namjesto n, onda je distribucija konačnog reda. Najmanji takav broj n_{0} zovemo redom distribucije u. Distribucije reda nula nazivamo Radonovim mjerama. Prostor Radonovih mjera označuje se s M i on je u dualnosti s prostorom C_{c}.

Specijalan primjer distribucije je Diracova masa, δ_{a}, definirana na sljedeći način:

⟨δ_{a}, φ⟩ := φ(a) .

Dual prostora S, S′ se sastoji od takozvanih temperiranih distibucija. To su linearni funkcionali na S neprekinuti u sljedećem smislu

(∃ C ∈ R^{+})(∃ N ∈ N)(∀ φ ∈ S) |⟨u, φ⟩| ⩽ C∥φ∥_{N} .

Za uvedene prostore vrijedi sljedeći niz relacija

D ⊂ S ↪ S′ ⊂ D′ .

Definirajmo sada neka preslikavanja na prostoru S koja ćemo koristiti u dokazu osnovnog teorema.

Za proizvoljnu funkciju u ∈ S možemo definirati Fourierovu pretvorbu Fu := û formulom:

û(ξ) := ∫_{R^{d}} e^{−2πix·ξ}u(x) dx .

Pretvorba û je ograničena i neprekinuta funkcija iz S. Nas će zanimati moguća proširenja Fourierove pretvorbe F.

Teorem 2. (Plancherel) Fourierova se pretvorba na jedinstven način proširuje sa S do unitarnog operatora s L^{2}(R^{d}) na samog sebe.

Štoviše, za 1 ⩽ p ⩽ 2, Fourierova pretvorba se proširuje do ograničenog linearnog operatora s L^{p}(R^{d}) u L^{p′}(R^{d}), norme manje ili jednake 1.

Za f, g ∈ S definiramo konvoluciju f ∗ g formulom

(f ∗ g) (x) := ∫_{R^{n}} f(x − y)g(y) dy .

Za svaku funkciju f ∈ S, preslikavanje g ↦ f ∗ g je neprekinuto preslikavanje prostora S na samog sebe. Značajno je da kod deriviranja konvolucije možemo prebaciti derivaciju na bilo koju njenu komponentu, točnije rečeno vrijedi da za svaki α ∈ N_{0}^{d} je ∂^{α}(f ∗ g) = (∂^{α}f) ∗ g = f ∗ (∂^{α}g).

Poznavajući Fourierovu pretvorbu, možemo definirati Soboljevljev prostor H^{s}, s ∈ R^{+} (koji se još označuje i s W^{s,2}(R^{d})) kao skup svih izmjerivih funkcija u ∈ L^{2}(R^{d}) za koje vrijedi:

∥u∥_{H^{s}}^{2} := ∫_{R^{d}}(1 + |ξ|^{2})^{s}|û(ξ)|^{2} dξ < ∞ .

Niz funkcija (ρ_{n}) je izgladujući niz ako vrijedi:

i) supp ρ_{n} → {0}

ii) ∫ |ρ_{n}(x)|dx ⩽ C i ∫ ρ_{n}(x)dx → 1 .

Posebno, za

ρ(x) := \{ \begin{matrix}Ce^{− \frac{1}{1−|x|^{2}}} & , |x| ⩽ 1 \\ 0 & , inače \end{matrix}

(C je konstanta birana tako da je C ∫ e^{− \frac{1}{1−|x|^{2}}} dx = 1), definiramo izgladujući niz ρ_{n}(x) := n^{d}ρ(nx).

Svaki izgladujući niz konvergira slabo * u Radonovim mjerama k Diracovoj mjeri δ_{0}, to jest za svaku funkciju φ iz prostora C_{c}(R^{d}) ⟨ρ_{n}, φ⟩ → φ(0).

3. Slaba kompaktnost u L^{p}

Podsjetimo se Dunford-Pettisovog kriterija slabe kompaktnosti u L^{1}. Neka je (f_{n})_{n∈N} niz u L^{1}(R^{d}). Tada je slaba (nizovna) kompaktnost niza (f_{n})_{n∈N} ekvivalentna sljedećim tvrdnjama:

a) (f_{n}) je ograničen u L^{1}(R^{d}).

b) (∀ϵ > 0) (∃δ > 0) (∀E ∈ M(R^{d}))

λ(E) < δ ⇒ sup_{n} ∫_{E} |f_{n}|dx ⩽ ϵ .

c) (∀ϵ > 0) (∃K ∈ K(R^{d}))

sup_{n} ∫_{R^{d}\K} |f_{n}|dx ⩽ ϵ .

Mi ćemo upotrebljavati kriterij na sljedeći način. Ako su h ∈ C(R^{+}; R^{+}) i ω ∈ L_{loc}^{∞}(R^{d}, R^{+}) takvi da lim_{t→∞} \frac{h(t)}{t} = ∞ i lim_{|x|→∞} ω(x) = ∞, onda nejednakost

(1)  sup_{n} ∫_{R^{d}}[h(|f_{n}|) + |f_{n}|(1 + ω)]dx < ∞

povlači da (f_{n}) zadovoljava (a) - (c).

Osnovni problem sa slabom kompaktnošću je što nelinearne funkcije nisu općenito slabo neprekidne. Standardni primjer toga je niz sin(nx) · χ_{[0,1]}(x), koji konvergira slabo u 0, dok niz sin(nx)^{2} · χ_{[0,1]}(x) konvergira k \frac{1}{2}χ_{[0,1]}(x). Medutim, korisno je što su konveksne funkcije barem odozdo poluneprekidne. Ako je F : R → R konveksna i ako f_{n} ⇀ f u L^{1}, onda je

∫ F ∘ fdx ⩽ lim inf_{n→∞} F ∘ f_{n}dx .

Dokaz toga se može naći u [D, str. 74].

Činjenica koju ću koristiti je da za slabo konvergentan niz funkcija f_{n} ⇀ f u L^{1}, i omeden niz funkcija (g_{n})u L^{∞}, takvih da g_{n} → g (ss) , vrijedi da je niz produkata f_{n}g_{n} slabo konvergentan u L^{1}; štoviše,

(2)  f_{n}g_{n} ⇀ fg u L^{1} .

Dokaz se zasniva na pomoćnoj tvrdnji, koja uz gore navedene uvjete, tvrdi da za svaki ϵ > 0 postoji kompaktan skup K takav da je

(3)  sup_{n} ∫_{R^{d}\K} (|f_{n}g_{n}| + |fg|) dx ⩽ ϵ ,

te na Egorovljevom teoremu, koji nam osigurava postojanje proizvoljnog malog skupa E ⊆ K, takvog da g_{n} → g jednoliko na K \ E. Po tvrdnji b) iz Dunford-Pettisovog teorema će za E dovoljno malen vrijediti da je sup_{n} ∫_{E} |f_{n}|dx ≤ ϵ. Koristeći to, uzmimo proizvoljnu funkciju ψ ∈ L^{∞} i rastavimo integral ∫ | (f_{n}g_{n}ψ − fgψ) |dx na tri integrala s područjima integracije R \ K, K \ E i E, kako bismo dobili sljedeće ocjene

∫ |f_{n}g_{n}ψ − fgψ| dx ⩽ ||ψ||_{L^{∞}}∫_{R\K}(|f_{n}g_{n}| − |fg)|) dx+∫_{K\E}|(f_{n}g_{n}−fg_{n}+fg_{n}−fg)ψ|dx
+ ∫_{E} |(f_{n}g_{n} − f_{n}g + f_{n}g − fg)ψ|dx

⩽ q||ψ||_{L^{∞}}ϵ + ∫_{K\E} (|g_{n}||(f_{n} − f)ψ|) dx + ∫_{K\E} (|f||g_{n} − g||ψ|) dx

+ ∫_{E} (|f_{n}||g_{n} − g||ψ|) dx + ∫_{E} (|g||(f_{n} − f)ψ|) dx

Sad redom ocjenjujemo integrale u zadnjoj nejednakosti. Integrali ∫_{K\E} (|g_{n}||(f_{n} − f)ψ|) i ∫_{E} (|g||(f_{n} − f)ψ|) teže k nuli kad n → ∞ zbog slabe konvergencije niza f_{n} i omedenosti niza g_{n} u L^{∞}. Integral ∫_{K\E}(|f||g_{n} − g||ψ|) teži k nuli zbog uniformne ograničenosti niza g_{n}. Zadnji integral je omeden linearno s ϵ, uniformno po n. Tako je dokazana tvrdnja (2).

Za dokazati nejednakost (3) uočimo da zbog omedenosti niza g_{n}, niz f_{n}g_{n} takoder zadovoljava Dunford-Pettiseve kriterije, pa iz (c) imamo egzistenciju kompaktnog skupa K_{1} takvog da sup_{n} ∫_{R^{d}\K_{1}} |f_{n}g_{n}| ⩽ qϵ/2. Kako je produkt fg ∈ L^{1}, takoder postoji kompaktan skup K_{2} takav da je ∫_{R^{d}\K_{2}} |fg| ⩽ qϵ/2. Definirajmo K = K_{1} ∩ K_{2} i time smo dokazali (3).

Pokažimo, nadalje, da za svaki slabo kompaktan niz (f_{n}) u L^{1} vrijedi

(4)  sup_{n} ∫_{f_{n}⩾R} f_{n}dx → 0 kad R → ∞ .

Zbog uniformne ograničenosti niza (f_{n}) imamo ocjenu

R · λ{f_{n} ⩾ R} ⩽ ∫_{f_{n}⩾R} f_{n}dx ⩽ C ,

odnosno

λ\{f_{n} ⩾ R\} ⩽ \frac{C}{R} ,

koja vrijedi uniformno po n. Po drugom uvjetu Dunford-Pettisovog teorema za dani ϵ > 0 postoji δ > 0, takav da za svaki skup E, čija je mjera manja od δ, integrali ∫_{E} f_{n} su manji od ϵ. Uzmimo R takav da je \frac{C}{R} ⩽ δ, slijedi da je sup_{n} λ\{f_{n} ⩾ R\} ⩽ δ i time je dokazana tvrdnja (4).

4. Prijenosni teorem

Nakon što smo uveli i opisali osnovne pojmove, sposobni smo iste iskoristiti za dokaz sljedećeg teorema.

Teorem 3. (prijenosni) Neka su f, h ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}) i pretpostavimo da je

(5)  T f = h

u smislu distribucija.

Tada je f^{♯}(·, x, ξ) apsolutno neprekidna obzirom na t za skoro svaki x i ξ, h^{♯}(·, x, ξ) ∈ L_{loc}^{1}(R) i vrijedi

(6)  f^{♯}(t_{2}) − f^{♯}(t_{1}) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} h^{♯}(s)ds

za sve t_{1}, t_{2} ∈ R.

Obratno, ako je f apsolutno neprekidna obzirom na t za skoro svaki x i ξ, a h^{♯} ∈ L_{loc}^{1}(R), onda (6) povlači (5) Dem. Uzmimo ψ ∈ D(R^{d} × R^{d}), ρ ∈ D(R) i pomnožimo (5) s ψ(x − tξ) · ρ(t). Koristeći činjenice da su f, h ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}) i da funkcije ψ i ρ imaju kompaktne nosače, dobiveni izraz možemo integrirati. Parcijalnom integracijom dobivamo

\begin{aligned}∫ ∫ ∫ ψ(x − tξ)ρ(t)hdxdξdt & = − ∫ ∫ ∫ fT (ψ(x − tξ)ρ(t))dxdξdt \\ & = − ∫ ∫ ∫ ψ(x − tξ)ρ′(t)fdxdξdt . \end{aligned}

Zamjena varijabli (t, x, ξ) → (t, x + tξ, ξ) nam daje

∫ ∫ ∫ {(ρ′(t)f^{♯} + ρ(t)h^{♯})dt} ψ(x, ξ)dxdξ = 0 ,

to jest

∫ (ρ′(t)f^{♯} + ρ(t)h^{♯})dt = 0

u smislu distribucija, za svaki ρ ∈ D(R).

Za završetak dokaza koristiti ćemo niz izgladujućih funkcija ρ_{n}, kojima će aproksimirati karakterističnu funkciju skupa [t_{1}, t_{2}]. Definirajmo funkciju χ := χ_{[t_{1},t_{2}]} koju ćemo aproksimirati nizom glatkih funkcija definiranih χ_{n} := ρ_{n} ∗ χ. Nadimo derivaciju funkcije χ (u smislu distribucija):

⟨χ′, φ⟩ = −⟨χ, φ′⟩ = − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} φ′(s)ds = −(φ(t_{2}) − φ(t_{1})) = ⟨δ_{t_{1}} − δ_{t_{2}}, φ⟩ ;

sa δ_{a} smo označili Diracovu mjeru u točki a. Dokazali smo

χ′ = δ_{t_{1}} − δ_{t_{2}}

(u smislu distribucija). Uz oznake T_{x}φ(y) := φ(x − y) (translacija za vektor x) i ρ̃(y) = ρ(−y), imamo da je rezultat konvolucije Diracove funkcije i glatke funkcije φ dana izrazom

ρ ∗ δ_{a} = ⟨δ_{a}, T_{x}ρ̃⟩ = ⟨T_{x}ρ̃⟩(a) = ρ(x − a) .

Na osnovu toga možemo zaključiti

χ′_{n} = ρ_{n} ∗ δ_{t_{1}} − ρ_{n} ∗ δ_{t_{2}} = ρ_{n}(t − t_{1}) − ρ_{n}(t − t_{2}) .

Iz konvergencije ρ_{n} → δ u odgovarajućem prostoru slijedi

∫ ρ_{n}(t − t_{i})f(t) → f(t_{i})  (i = 1, 2) ,

i time smo dokazali jedan smjer teorema.

ii) Za dokaz obrata uzmimo t_{1} = t i t_{2} = t + h i podijelimo (6) s h. Gledajući limes desne strane dobivene jednakosti kad h → 0 dobivamo

lim ∫_{t}^{t+h} h^{♯} → h^{♯} (ss)

No budući je gornji integral zbog h^{♯} ∈ L_{loc}^{1}(R) omeden u L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}), možemo primjeniti Lebesgueov teorem o dominiranoj konvergenciji iz kojeg slijedi:

\frac{df^{♯}}{dt} = h^{♯}

u smislu distribucija.

Relacija (1)se sada lako dobije množeći gornju jednakost glatkim test funkcijama i koristeći zamjenu varijabli.

Q.E.D.

IV. Cauchyjeva zadaća za Boltzmannovu jednadžbu

1. Prve ocjene rješenja

U ovom poglavlju ćemo pokušati opisati uvjete koji nam osiguravaju egzistenciju rješenja Boltzmannove jednadžbe. Član |V · n| u Boltzmannovoj jednadžbi zvat ćemo jezgrom sudara. Iz tehničkih razloga mi ćemo proučavati mnogo općenitije jezgre sudara i označavat ćemo ih s q. Na taj način dolazimo do generalizirane Boltzmannove jednadžbe:

(1)  (∂_{t} + ξ · ∇_{x})f = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q(x, ξ − ξ_{∗}, n)[f′f′_{∗} − ff_{∗}]dndξ_{∗} .

Desna strana jednadžbe sadrži kvadratni izraz Q(f, f), definiran s

Q(f, f) = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q(x, ξ − ξ_{∗}, n)[f′f′_{∗} − ff_{∗}]dndξ_{∗} .

Ovaj izraz se zove integral sudara, a kvadratični operator Q operator sudara. Izraz ćemo često rastavljati na sljedeći način

Q(f, f) = Q_{+}(f, f) − Q_{−}(f, f) = Q_{+}(f, f) − fR(f) ,

gdje su

\begin{aligned}Q_{+}(f, f) & = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} qf′f′_{∗}dndξ_{∗} , \\ Q_{+}(f, f) & = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} qff_{∗}dndξ_{∗} \end{aligned}

i

R(f) = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} qf_{∗}dndξ_{∗} .

Lema 1. Pretpostavimo da je q nenegativna funkcija u L_{loc}^{∞}(R^{d} × R^{d} × S^{d−1}) koja ovisi samo o x, |ξ − ξ_{∗}| i |(ξ − ξ_{∗}) · n|, te ima najviše polinomijalni rast s obzirom na x i ξ − ξ_{∗} u beskonačnosti. Ako je f ∈ C^{1}(R_{0}^{+}; S(R^{d} × R^{d})) nenegativno rješenje Boltzmannove jednadžbe takvo da | ln f| ima najviše polinomijalni rast po (x, ξ) u beskonačnosti, uniformno na kompaktnim (vremenskim) intervalima u R_{0}^{+}, onda vrijede sljedeće jednakosti:

(2)  ∫ ∫ f(t, ·)dxdξ = ∫ ∫ f(0, ·)dxdξ ,

(3)  ∫ ∫ f(t, ·)ξ^{2}dxdξ = ∫ ∫ f(0, ·)ξ^{2}dxdξ ,

(4)  ∫ ∫ f(t, ·)|x − tξ|^{2}dxdξ = ∫ ∫ f(0, ·)x^{2}dxdξ

i

(5)  ∫ ∫ f ln f(t, ·)dxdξ + ∫_{0}^{t} ∫ ∫ e(f)dxdξds = ∫ ∫ f ln f(0, ·)dxdξ ,

gdje je

e(f)(t, x, ξ) = \frac{1}{4} ∫ ∫ q(x, ξ − ξ_{∗}, n)(f′f′_{∗} − ff_{∗}) ln (\frac{f′f′_{∗}}{ff_{∗}} ) (t, x, ξ, ξ_{∗}, n)dξ_{∗}dn .

Cauchyjeva zadaća za Boltzmannovu jednadžbu

Ove jednakosti povlače sljedeće ocjene:

(6) ∫ ∫ f ln f(t, ·)(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dxdξ ⩽ ∫ ∫ f(0, ·)(1 + 2|x|^{2} + (2t + 1)|ξ|^{2})dxdξ

i

(7)

∫ ∫ f(t, ·)| ln f(t, ·)|dxdξ + ∫_{0}^{t} ∫ ∫ e(f)dxdξds
⩽ ∫ ∫ f(0, ·)(| ln f(0, ·)| + 2|x|^{2} + 2|ξ|^{2})dxdξ + C_{d} ,

gdje je C_{d} konstanta koja ovisi jedino o dimenziji prostora d. Dem. Ako jezgra sudara q ima gore iskazana svojstva, te je φ ∈ O(R^{d}), a g ∈ S(R^{d})(obje funkcije u varijabli ξ), onda je dobro definiran integral

∫ Q(g, g)φdξ

kao integral produkta brzoopadajuće funkcije i funkcija najviše polinomomijalnog rasta u beskonačnosti. Taj integral možemo ekvivalentno zapisati na još nekoliko načina. Najprije u desnoj strani jednakosti

(8)  ∫ Q(g, g)φdξ = ∫ ∫ ∫ (g′g′_{∗} − gg_{∗})φ(ξ)qdξdξ_{∗}dn ,

napravimo zamjenu varijabli (ξ, ξ_{∗}) → (ξ_{∗}, ξ) iz čega slijedi

(9)  ∫ Q(g, g)φdξ = ∫ ∫ ∫ (g′g′_{∗} − gg_{∗})φ(ξ_{∗})qdξdξ_{∗}dn .

Slično, zamjenom (ξ, ξ_{∗}) → (ξ′_{∗}, ξ′) dobivamo

(10)  \begin{aligned}∫ Q(g, g)φdξ & = ∫ ∫ ∫ (gg_{∗} − g′g′_{∗})φ(ξ′)qdξ′dξ′_{∗}dn \\ & = ∫ ∫ ∫ (gg_{∗} − g′g′_{∗})φ(ξ′)qdξdξ_{∗}dn , \end{aligned}

pri čemu smo za posljednju jednakost koristili činjenicu da je apsolutna vrijednost jakobijana zamjene (ξ, ξ_{∗}) → (ξ′_{∗}, ξ′) jednaka jedan, pa možemo pisati dξdξ_{∗} umjesto dξ′dξ′_{∗}.

Na kraju napravimo opet zamjenu (ξ, ξ_{∗}) → (ξ_{∗}, ξ), što nam daje

(11)  ∫ Q(g, g)φdξ = ∫ ∫ ∫ (gg_{∗} − g′g′_{∗})φ(ξ′_{∗})qdξdξ_{∗}dn .

Zbrajanjem jednakosti (8), (9), (10) i (11) nalazimo

(12)  ∫ Q(g, g)φdξ = −\frac{1}{4} ∫ ∫ ∫ (g′g′_{∗} − gg_{∗})(φ′ + φ′_{∗} − φ − φ_{∗})qdξdξ_{∗}dn .

Desna strana jednakosti je jednaka nuli ukoliko je φ invarijantna na sudare (to jest ako je φ′ + φ′_{∗} = φ + φ_{∗}).

Pretpostavimo sada da je φ ∈ C^{1}(R_{0}^{+} × R^{d} × R^{d}) takav da su φ i \frac{∂φ}{∂t} najviše polinomijalnog rasta po (x, ξ), uniformno po t na kompaktnim skupovima. Pretpostavljajući da je i T φ = 0, slijedi

\begin{aligned}\frac{d}{dt} ∫ ∫ fφdxdξ & = ∫ ∫ (T f)φdxdξ \\ & = ∫ ∫ Q(f, f)φdxdξ . \end{aligned}

Ako je k tome za svaki (t, x) funkcija φ(t, x, ·) invarijantna na sudare, onda je

\frac{d}{dt} ∫ ∫ fφdxdξ = 0 .

Jednakosti (2) – (4) sada slijede birajući redom φ = 1, |ξ|^{2}, |x − tξ|^{2}. Izbor φ = 1 dovodi do zakona sačuvanja mase, φ = |ξ|^{2} do zakona sačuvanja energije, a φ = |x − tξ|^{2} do sačuvanja momenta inercije. Slično, računamo

\frac{d}{dt} ∫ ∫ f ln fdxdξ = ∫ ∫ (1 + ln f)Q(f, f)dxdξ ,

stavljamo φ = ln f u (12) i koristimo da je φ = 1 invarijantan na sudare:

\frac{d}{dt} ∫ ∫ f ln fdxdξ = −\frac{1}{4} ∫ ∫ ∫ (f′f′_{∗} − ff_{∗}) ln (\frac{f′f′_{∗}}{ff_{∗}} ) dξdξ_{∗}dndx .

Integrirajući gornju jednakost po vremenskoj varijabli dobivamo (5). Nejednakost (6) slijedi iz (2) – (4), te iz ocjene

|x|^{2} ⩽ 2|x − tξ|^{2} + 2t^{2}|ξ|^{2} ,

koja se lako provjeri. Da bismo dokazali posljednju nejednakost u lemi, dokazat ćemo najprije pomoćnu ocjenu

(13)  ∫ ∫_{f⩽1} f| ln f| ⩽ ∫ ∫_{Ω} f| ln f| + C′_{d} ,

gdje je Ω = {(x, ξ); e^{−|x−tξ|^{2}−|ξ|^{2}} ⩽ f(t, x, ξ) ⩽ 1}.

Označimo s Ω′ skup {(x, ξ) : f(t, x, ξ) ⩽ e^{−|x−tξ|^{2}−|ξ|^{2}}}. Tada imamo

∫ ∫_{Ω′} f| ln f| = ∫ ∫_{Ω′} f (ln \frac{1}{f} ) ,

a kako je t ln(1/t) ⩽ C_{0}\sqrt{t} za t ∈ ⟨0, 1⟩ i C_{0} ⩾ 0, koristeći činjenicu da je e^{−|x|^{2}} brzoopadajuća funkcija, zaključujemo da je

∫ ∫_{Ω′} f| ln f| ⩽ C_{0} ∫ ∫ e^{−(|x−tξ|^{2}−|ξ|^{2})/2} ⩽ C′_{d} ,

gdje konstanta C′_{d} ne ovisi o funkciji f.

Kako na skupu Ω vrijedi | ln f| ⩽ |x−tξ|^{2} +|ξ|^{2}, to je integral na desnoj strani u (13) omeden s ∫ ∫ (|x − tξ|^{2} + |ξ|^{2})fdxdξ. Sad to koristimo da bismo dokazali nejednakost (7):

∫ ∫ f(t, ·)| ln f(t, ·)|dxdξ + ∫_{0}^{t}∫ ∫ e(f)dxdξds = 2 ∫ ∫_{f⩽1} f(t, ·)| ln f(t, ·)|dxdξ
+ ∫ ∫_{f⩾1} f(t, ·)| ln f(t, ·)|dxdξ + ∫_{0}^{∞}∫ ∫_{f⩾1} e(f)dxdξds

− ∫ ∫_{f⩽1} f(t, ·)| ln f(t, ·)|dxdξ + ∫_{0}^{∞}∫ ∫_{f⩽1} e(f)dxdξds .

Na osnovu nejednakosti (5) gornju sumu možemo ocijeniti s

∫ ∫_{f⩽1}(|x−tξ|^{2}+|ξ|^{2})f +2C′_{d}+∫ ∫_{f⩾1} f(t, ·)| ln f(0, ·)|dxdξ+∫ ∫_{f⩽1} f(t, ·)| ln f(0, ·)|dxdξ ,

što je zbog (3) i (4) manje od

∫ ∫ f(0, ·)(| ln f(0, ·)| + 2|x|^{2} + 2|ξ|^{2})dxdξ + C_{d} ,

i time je dokazana nejednakost (7).

Q.E.D.

2. Osnovni teorem

Sada ćemo odrediti pretpostavke na jezgru sudara q(ξ−ξ_{∗}, n) za koju će opći rezultat biti dokazan. Označimo V = ξ − ξ_{∗}. Pretpostavimo da je q ∈ L_{loc}^{1}(R^{d} × S^{d−1}), q ⩾ 0, i da q ovisi samo o |V| i |V · n|. Definirajmo

A(V) = ∫_{S^{d−1}} q(V, n)dn .

Pretpostavimo, nadalje, da za svaki R > 0 vrijedi

(14)  \frac{1}{1 + |ξ|^{2}} ∫_{|ξ_{∗}|⩽R} A(ξ − ξ_{∗})dξ_{∗} → 0 kad |ξ| → ∞ ,

te da je

(15)  A ∈ L_{loc}^{∞}(R^{d}) .

Lako se provjeri da jezgra sudara za čvrste kugle

q = |(ξ − ξ_{∗}) · n| ,

koja predstavlja najvažniji slučaj u ovom radu, zadovoljava gornja dva uvjeta.

Podsjetimo se da smo definirali operator R(f) pomoću rastava Q(f, f) = Q_{+}(f, f) − fR(f); taj je operator upravo konvolucijski operator s novouvedenom funkcijom A kao jezgrom (R(f) = A ∗ f).

Egzistencija globalnog klasičnog rješenja Boltzmannove jednadžbe nije dokazana. Zato ćemo sada definirati neke alternativne pojmove rješenja te jednadžbe. Pri tom ćemo rabiti oznaku

g^{♯}(t, x, ξ) = g(t, x + tξ, ξ)

za svaku izmjerivu funkciju g na [0, ∞⟩ × R^{d} × R^{d}.

Kažemo da je izmjeriva funkcija f definirana na [0, ∞⟩ × R^{d} × R^{d} blago rješenje Cauchyeve zadaće za Boltzmannovu jednadžbu s početnom vrijednošću f_{0} ako za skoro svaki (x, ξ)

Q_{±}(f, f)^{♯}(·, x, ξ) ∈ L_{loc}^{1}([0, ∞⟩) ,

i ako za svaki t ⩾ 0 vrijedi

f^{♯}(t, x, ξ) = f_{0}(x, ξ) + ∫_{0}^{t} Q(f, f)^{♯}(s, x, ξ)ds .

Jedna od ključnih ideja Ronalda DiPerne i Pierre-Louis Lionsa je bila uvesti pojam jačeg rješenja (i dalje bitno slabijeg od klasičnog), kako bi se ocjene (6) i (7) mogle najbolje iskoristiti, a zatim opet prelaskom na limes dobiti blago rješenje. Ojačano rješenje su nazvali renormaliziranim, i ono je definirano na sljedeći način.

Funkcija f ∈ L_{loc}^{1}(R_{0}^{+}; L_{+}^{1}(R^{d} × R^{d})) je renormalizirano rješenje Boltzmannove jednadžbe ako su

(16)  \frac{Q_{±}(f, f)}{1 + f} ∈ L_{loc}^{1}(R_{0}^{+} × R^{d} × R^{d})

i ako za svaku Lipschitzovu funkciju β : R_{0}^{+} → R, koja zadovoljava uvjet |β′(t)| ⩽ \frac{C}{1+t} za svaki t ⩾ 0, vrijedi

(17)  T β(f) = β′(F)Q(f, f)

u smislu distribucija.

Zanimljivo je da se definicija renormaliziranog rješenja može znatno pojednostaviti. Umjesto svih funkcija β s gore navedenim svojstvima, dovoljno je gledati samo jednu: funkciju β(t) = ln(1 + t). DiPerna i Lions su to čak uzeli kao definiciju renormaliziranog rješenja, a zatim pokazali da iz toga slijedi (17), za gore naveden skup funkcija β (dokaz toga se može naći u [DL1, str. 331]).

Lema 2. Neka je f ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}).

i) Ako f zadovoljava (16) i (17) s β(t) = ln(1 + t), onda je f blago rješenje Boltzmannove jednadžbe.

ii) Ako je f blago rješenje Boltzmannove jednadžbe i \frac{Q_{±}(f,f)}{1+f} ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}), onda je f renormalizirano rješenje. Dem. i) Pretpostavljamo da vrijedi

T (ln(1 + f)) = \frac{Q(f, f)}{1 + f}

u smislu distribucija.

Za δ > 0 uvedimo funkciju β_{δ}(y) := \frac{1}{δ} ln(1 + δ(e^{y} − 1)) definiranu na R^{+}. Po pretpostavci je T (ln(1 + f)) ∈ L_{loc}^{1}(R_{0}^{+} × R^{d} × R^{d}), a zbog ocjene 0 ⩽ ln(1 + f) ⩽ f i pretpostavke f ∈ L_{loc}^{1}(R_{0}^{+} × R^{d} × R^{d}), slijedi i da je ln(1 + f) ∈ L_{loc}^{1}(R_{0}^{+} × R^{d} × R^{d}). Kako je β′_{δ}(ln(1 + f)) = \frac{1+f}{1+δf}, to slijedi

\begin{aligned}T β_{δ}(ln(1 + f)) & = β′_{δ}(ln(1 + f)) · T (ln(1 + f)) \\ & = \frac{Q(f, f)}{1 + δf} \end{aligned}

u smislu distribucija. S druge strane je β_{δ}(ln(1 + f)) = \frac{1}{δ} ln(1 + f), pa imamo da je

T \frac{1}{δ} ln(1 + f) = \frac{Q(f, f)}{1 + δf}

u smislu distribucija za svaki δ > 0.

Definirajmo g_{δ} := \frac{1}{δ} ln(1 + f). Iz ocjene g_{δ} ⩽ \frac{1}{δ} · δf = f i činjenice da je f ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}), slijedi i da je g_{δ} ∈ L_{loc}^{1}(R × R^{d} × R^{d}), pa možemo primijeniti prijenosni teorem (III.3) iz kojeg zaključujemo da je g_{δ}^{♯} za skoro svaki x, ξ i svaki δ > 0

apsolutno neprekidna po t, te da su \frac{Q_{±}(f,f)^{♯}}{1+δf^{♯}} lokalno integrabilni po vremenskoj varijabli.

Kako je f^{♯} = e^{g_{1}^{♯}} − 1, f^{♯} je takoder apsolutno neprekidna po t za skoro svaki x, ξ; pa su Q_{±}(f, f)^{♯}(·, x, ξ) ∈ L_{loc}^{1}([0, ∞⟩) za skoro svaki x, ξ. Koristeći transportni teorem imamo da za svaki t > δ vrijedi:

g_{δ}^{♯}(t) − g_{δ}^{♯}(s) = ∫_{s}^{t} \frac{Q(f, f)^{♯}}{1 + δf^{♯}} dσ ,

pa prijelazom na limes kad δ ↘ 0 dobivamo

f^{♯}(t, x, ξ) − f^{♯}(s, x, ξ) = ∫_{s}^{t} Q(f, f)^{♯}(σ, x, ξ)dσ .

ii) Ako je f blago rješenje, onda je f^{♯} apsolutno neprekidna po t za skoro svaki (x, ξ), pa je to takoder i funkcija ln(1 + f^{♯}). Zato što funkcija g = ln(1 + f) zadovoljava g^{♯}(t) − g^{♯}(s) = ∫_{s}^{t} \frac{1}{1+f^{♯}} Q(f, f)^{♯}dτ, koristeći transportni teorem vidimo da vrijedi

T (ln(1 + f)) = \frac{1}{1 + f} Q(f, f) ,

pa na osnovu napomena koje su prethodile iskazu Leme zaključujemo da je f renormalizirano rješenje.

Q.E.D.

Preostali dio ovog rada posvećen je dokazu sljedećeg teorema.

Teorem 1. (DiPerna i Lions [DL1]) Pretpostavimo da je f_{0} ∈ L_{loc}^{1}(R^{d} × R^{d}) nenegativna funkcija koja zadovolja

∫ ∫ f_{0}(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dxdξ < ∞

i

∫ ∫ f_{0}| ln f_{0}|dxdξ < ∞ .

Tada postoji renormalizirano rješenje Boltzmannove jednadžbe f ∈ C(R_{0}^{+}; L_{+}^{1}(R^{d} × R^{d})) takvo da je f|_{t=0} = f_{0}, te da zadovoljava ocjene (6) i (7).

3. Klasična rješenja pomoćne Cauchyeve zadaće iterativnim postupkom

Renormalizirano rješenje f naći ćemo kao limes funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu dobivenu rezanjem. Za neki δ > 0 i modificiranu nenegativnu jezgru sudara q̄ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d} × S^{d−1}) takvu da q̄ iščezava za (ξ − ξ^{∗}) · n < δ, definiramo:

Q̄(g, g) := ∫ ∫ q̄(g′g′_{∗} − gg_{∗})dndξ_{∗}

i

(18)  Q̃(g, g) := \frac{Q̄(g, g)}{1 + δ ∫ |g|dξ} .

Lema 3. Neka je f_{0} ∈ S(R^{d} × R^{d}) nenegativna funkcija takva da | ln f_{0}| ima najviše polinomijalni rast u beskonačnosti. Tada Cauchyeva zadaća

(19)  \{ \begin{matrix}T f & = Q̃(f, f) \\ f|_{t=0} & = f_{0} \end{matrix}

ima jedinstveno globalno rješenje f koje zadovoljava hipoteze Leme 1. Ono takoder zadovoljava ocjene (6) i (7). Dem. Za dokaz leme trebat će nam sljedeće ocjene:

(20)  ∫_{R^{d}} |Q̃(g, g)|dξ ⩽ C_{δ} ∫_{R^{d}} |g|dξ ,

(21)  ∥Q̃(g, g)∥_{L^{∞}(R_{ξ}^{d})} ⩽ C_{δ}∥g∥_{L^{∞}(R_{ξ}^{d})} ,

(22)  ∫_{R^{d}} |Q̃(g, g) − Q̃(f, f)|dξ ⩽ C_{δ} ∫_{R^{d}} |f − g|dξ ,

i

(23)  ∥Q̃(g, g) − Q̃(f, f)∥_{L^{∞}(R_{ξ}^{d})} ⩽ C_{δ}∥g − f∥_{L^{∞}(R_{ξ}^{d})} ,

pri čemu C_{δ} označuje razne konstante neovisne o g i f.

Da bismo dokazali prvu od gore navedenih ocjena, pokažimo da vrijedi

(24)  ∫ ∫ ∫ |q̄gg_{∗}|dndξ_{∗}dx ⩽ C_{1} (∫ |g|dξ) (1 + δ ∫ |g|dξ) .

Budući da je q̄ ∈ C_{c}^{∞}(R^{d} × S^{d−1}), to možemo q̄ ograničiti odozgo nekom konstantom M > 0, to jest vrijedi q̄ < M. Na osnovu toga zaključujemo

∫ ∫ (∫_{S^{d−1}} |q̄|dn) |gg_{∗}|dξ_{∗}dx ⩽ (∫_{S^{d−1}} Mdn) ∫ |g| (∫ |g_{∗}|dξ_{∗}) dξ
= C_{1} (∫ |g|dξ) (∫ |g_{∗}|dξ_{∗})
⩽ C_{1} (∫ |g|dξ) (1 + ∫ |g|dξ) .

Na istovjetan način se pokaže i da je

(25)  ∫ ∫ ∫ |q̄g′g′_{∗}|dndξ_{∗}dx ⩽ C_{2} (∫ |g|dx) (1 + δ ∫ |g|dξ) ,

pa se zbrajanjem (24) i (25) dobije ocjena (20), jer konstante C_{1} i C_{2} očito ne ovise o g.

Za dokaz nejednakosti (21) dovoljno je dokazati da vrijedi

(26)  | ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̄(ξ − ξ_{∗}, n)g(ξ′)dndξ_{∗}| ⩽ C_{0}∥g∥_{L_{ξ}^{1}} .

Naime

|Q̃(g, g)| ⩽ \frac{1}{1 + δ ∫ |g|}| ∫ ∫ q̄g′g′_{∗}| + \frac{1}{1 + δ ∫ |g|}| ∫ ∫ q̄gg_{∗}|

⩽ \frac{1}{1 + δ ∫ |g|}∥g∥_{L^{∞}} | ∫ ∫ q̄g′_{∗}| + \frac{1}{1 + δ ∫ |g|}∥g∥_{L^{∞}} | ∫ q̄∫ g_{∗}|

⩽ \frac{∥g∥_{L^{∞}}C_{0} ∫ |g|}{1 + δ ∫ |g|} + \frac{1}{1 + δ ∫ |g|}∥g∥_{L^{∞}}C ∫ |g_{∗}|

⩽ C_{1}∥g∥_{L^{∞}} + C_{2}∥g∥_{L^{∞}} ,

iz čega slijedi (21).

Tvrdnju (26) dokažimo najprije za slučaj ξ = 0. Označimo v = |n · ξ_{∗}|. Tada ćemo v interpretirati kao radijalni dio varijable ξ_{∗} u polarnim koordinatama, dok ćemo s n označavati njezin smjer. Zamijenimo integral ∫_{S^{d−1}} ∫_{R^{d}} q̄gdndξ_{∗} u (26) s integralom ∫_{S^{d−1}} ∫_{0}^{∞} ∫_{W} q̄gdwdvdn, gdje W označuje ravninu kroz točku n(n·ξ_{∗}) okomitu na n. Primijetimo da smo formalno smanjili područje integracije, ono više nije cijeli R^{d}, ali integral se time nije promijenio, jer q̄ iščezava za (ξ_{∗} · n) > 0. Sada integral u (26) možemo pisati u obliku

∫_{S^{d−1}} ∫_{0}^{∞} ∫_{W} \frac{q̄}{v^{d−1}} g(v, n)v^{d−1}dwdvdn .

Zbog pretpostavke q̄ ∈ C_{c}^{∞}, postoji R > 0 takav da je supp q̄ ⊆ B_{R}, te uz oznaku M = max q̄ vrijedi

∫_{W} \frac{q̄}{v^{2}} dw ⩽ ∫_{B_{R}} \frac{M}{δ^{2}} dw ⩽ C_{0} .

Zaključujemo da je

∫_{S^{d−1}} ∫_{0}^{∞} ∫_{W} \frac{q̄}{v^{2}} g(v, n)v^{2}dwdvdn ⩽ C_{0} ∫_{S^{d−1}} ∫_{0}^{∞} g(v, n)v^{d−1}dvdn .

Integral na desnoj strani je upravo integral ∫ |g|dξ, samo zapisan u polarnim koordinatama (jakobijan transformacije je v^{d−1}). Time je (26) dokazan za slučaj ξ = 0, to jest vrijedi

(27)  ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̄(−ξ_{∗}, n)g(−n(n · ξ_{∗}))dndξ_{∗} ⩽ C_{0}∥g∥_{L_{ξ}^{1}} .

Uzmimo sada ξ ≠ 0 i u integralu

∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̄(ξ − ξ_{∗}, n)g(ξ + n(n · (ξ − ξ_{∗}))dndξ_{∗}

napravimo zamjenu varijabli (ξ − ξ_{∗}) → η_{∗}. Dobivamo integral

∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̄(η_{∗}, n)g(ξ + n(n · (η_{∗})))dndη_{∗} .

Definirajmo funkciju f(η) := g(ξ + η) i uvrstimo je u gornji integral. Slijedi

∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̄(η_{∗}, n)f(n(n · η_{∗}))dndη_{∗} ,

a to je upravo integral na lijevoj strani nejednakosti (27), pa je on omeden s C_{0}∥f∥_{L_{ξ}^{1}}.

Kako očigledno g i f imaju jednake norme u L_{ξ}^{1}, to slijedi da (26) vrijedi za svaki ξ ∈ R^{d}. Za dokaz ocjena (21) i (22), vidjeti [CIP, str. 145]. Pretpostavke (20)–(23) nam služe da bismo pokazali da iteracije

(28)  \{ \begin{matrix}T f^{0} & = 0 \\ T f^{n+1} & = Q̃(f^{n}, f^{n}) \\ f|_{t=0}^{n} & = f_{0} \end{matrix}

konvergiraju u prostoru C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})). Najprije, označimo sa S operator koji funkciji g pridružuje funkciju u dobivenu kao rješenje linearne hiperboličke jednadžbe prvog reda s konstantnim koeficijentima

\{ \begin{matrix}T u & = Q̃(g, g) \\ u|_{t=0} & = f_{0} . \end{matrix}

S je dobro definiran operator s prostora C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})) u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d})∩L^{∞}(R^{d} × R^{d})). Za svaku omedenu neprekinutu funkciju v možemo napisati eksplicitni izraz za Sv:

(29)  Sv(t, x, ξ) = f_{0}(0, x − tξ) + ∫_{0}^{t} Q̃(v, v)(s, x − (t − s)ξ, ξ)ds .

Ako pokažemo da je S kontrakcija, onda možemo primijeniti Banachov teorem o fiksnoj točki. Za f, g ∈ C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})) označimo u := Sf i v := Sg. Uz oznaku ∥f − g∥_{M} := max_{t∈[0,T]} ∥f − g∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} imamo sljedeće ocjene

∥u − v∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})}(t) = ∫ ∫ | ∫_{0}^{t} (Q̃(f, f) − Q̃(g, g)) (s, x − (t − s)ξ, ξ)ds|dxdξ
⩽ ∫_{0}^{t} ∫ ∫ | (Q̃(f, f) − Q̃(g, g)) (s, x − (t − s)ξ, ξ)|dxdξds
⩽ ∫_{0}^{t} ∫ ∫ C_{δ}|(f − g)(s, x − (t − s)ξ, ξ)|dxdξds
= ∫_{0}^{t} C_{δ}∥f − g∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})}(s)ds ⩽ C_{δ}t∥f − g∥_{M}

Predzadnja nejednakost je zaključena na osnovu (22). Iz ocjene koju smo dobili slijedi da S ne mora nužno biti kontrakcija; medutim, ako primijenimo operator S više puta, dobijamo ocjenu

∥S^{m}f − S^{m}g∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})}(t) ⩽ C_{δ}^{m} \frac{t^{m}}{m!}∥f − g∥_{M} .

Ocjena vrijedi uniformno po t ∈ [0, T], pa slijedi da je operator S^{m} kontrakcija u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d})) za dovoljno veliki m.

Na potpuno analogan način, koristeći (23), zaključujemo da je S^{m′}, za dovoljno veliki m′, kontrakcija u C([0, T]; L^{∞}(R^{d} × R^{d})), odnosno da je S^{mm′} kontrakcija u prostoru C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})). Zato ćemo u nizu (f^{n}) prijeći na podniz, koji ćemo jednako označavati, a koji je dobiven relacijom f^{n_{j}} = S^{p}f^{n_{j−1}}, gdje je p = mm′.

Sada na osnovu Banachovog teorema o fiksnoj točki možemo zaključiti da postoji jedinstveno rješenje problema S^{p}f = f u prostoru C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})). Naravno, mi želimo pokazati da vrijedi Sf = f. Medutim, to neće biti problem postići, budući da analognim zaključivanjem dobivamo i da preslikavanje S^{p+1} ima fiksnu točku, i ona je jednaka fiksnoj točki preslikavanja S^{p}, pa imamo

f = S^{p+1}f = S(S^{p}f) = Sf .

Dobili smo jedinstveno rješenje problema (20) u C([0, T];L^{1}(R^{d} × R^{d}) ∩ L^{∞}(R^{d} × R^{d})). DiPerna i Lions su pokazali da iterativni postupak konvergira i u C([0, T]; S(R^{d} × R^{d})). Mi želimo pokazati i više, to jest da se naše rješenje nalazi u prostoru C^{1}([0, T]; S(R^{d} × R^{d})). U tu svrhu primijetimo da za svaku funkciju f_{n} iz našeg iterativnog niza vrijedi f_{n} ∈ C^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}) (zato što je q̄_{n} ∈ C_{c}^{∞}(R^{d} × S^{d−1}) i f_{0} ∈ S(R^{d} × R^{d})). Koristeći Weierstrassov teorem o konvergenciji niza funkcija dobijemo da je i f ∈ C^{1}([0, T]×R^{d}×R^{d}). Budući da za svaki t ∈ [0, T] vrijedi

∂_{t}f(t, ·) = −ξ · ∇_{x}f + Q̃(f, f) ∈ S(R^{d} × R^{d}) ,

naša je tvrdnja dokazana.

Ostaje nam još za provjeriti da rješenje f Cauchyeve zadaće (19) zadovoljava uvjete Leme 1, odnosno da je f nenegativna, te da je | ln f| ograničeno polinomom u beskonačnosti. Iz pretpostavke da | ln f_{0}| ima najviše polinomijalni rast u beskonačnosti lako se pokaže da vrijedi

f_{0}(x, ξ) ⩾ Ke^{−C_{1}(|x|^{k}+|ξ|^{k})}

za neke konstante K > 0, C_{1} > 0 i k ∈ N. Takoder, ako je f^{n} nenegativna (što zbog stroge pozitivnosti funkcije f_{0} i formule (29) možemo uvijek zaključiti barem za male vrijednosti vremenske varijable t), imamo

T f^{n+1} ⩾ −\frac{Ā ∗ f^{n}}{1 + δ ∫ f^{n}dξ} · f^{n} ⩾ −C_{2}f^{n} ,

pri čemu je Ā(V) = ∫_{S^{d−1}} q̄(V, n)dn i C_{2} ⩾ 0. Gledajući limes gornje nejednakosti kad n → ∞ dobivamo

T f ⩾ −C_{2}f .

Ovo povlači da je

f(t, x, ξ) ⩾ Ke^{−C_{1}(|x−ξt|^{k}+|ξ|^{k})} · e^{−C_{2}t} ,

iz čega slijedi pozitivnost rješenja i ograničenost | ln f| polinomom u beskonačnosti. Q.E.D.

4. Aproksimativna rješenja

Neka je (q_{n}) niz nenegativnih funkcija u C_{c}^{∞}(R^{d} × S^{d−1}) koji zadovoljava (16) i (17) (uniformno po n) i pretpostavimo da q_{n} → q skoro svuda (pri tom q ima svojstva iskazana u prvom dijelu ovog poglavlja). Nadalje, aproksimirajmo funkciju f_{0} u L_{+}^{1}(R^{d} × R^{d}) nizom funkcija (f_{0}^{n}) u S(R^{d} × R^{d}) takvih da

(∀n ∈ N) (∃μ_{n} > 0) f_{0}^{n} ⩾ μ_{n}e^{−|x|^{2}−|ξ|^{2}} ,

te da vrijedi:

∫ ∫ f_{0}^{n}(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dxdξ → ∫ ∫ f_{0}(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2}) ,
∫ ∫ f_{0}^{n}| ln f_{0}^{n}|dxdξ → ∫ ∫ f_{0}| ln f_{0}|dxdξ .

To je moguće zbog pretpostavke na rast | ln f_{0}| u beskonačnosti (vidi dokaz Leme 3).

Neka δ_{n} ↘ 0, i neka je Q^{n} jednak Q̃ (definiranim relacijom (18) s δ = δ_{n}, q̄ = q_{n}). Onda Lema 3 osigurava egzistenciju niza (f^{n}) takvog da je

\{ \begin{matrix}T f^{n} & = Q^{n}(f^{n}, f^{n}) \\ f|_{t=0}^{n} & = f_{0}^{n} , \end{matrix}

pa pomoću (6) i (7), te gornjih zahtjeva na niz početnih vrijednosti dobijamo

(30)  (∀T > 0) sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∫ ∫ f^{n}(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dxdξ < ∞ ,

(31)  (∀T > 0) sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∫ ∫ f^{n}| ln f^{n}|dxdξ < ∞ ,

(32)  sup_{n} ∫_{0}^{∞} ∫ ∫ e_{n}(f^{n})dxdξdt < ∞ ,

gdje je

(33) e_{n}(f^{n}) = \frac{1}{4} (1 + δ_{n} ∫ f^{n}dξ)^{−1} ∫ ∫ q_{n}(f^{n′}f_{∗}^{n′} − f^{n}f_{∗}^{n}) ln (\frac{f^{n′}f_{∗}^{n′}}{f^{n}f_{∗}^{n}} ) dξ_{∗}dn .

Predefinirajmo sada jezgre sudara q_{n} tako da one ovise i o prostornoj varijabli x i vremenskoj varijabli t, na sljedeći način

q̃_{n}(t, x, V, n) := \frac{1}{1 + δ_{n} ∫ f_{n}(t, x, ξ)dξ} q_{n}(V, n) .

Integral sudara ćemo sada definirati izrazom

Q(f^{n}, f^{n})(t, x, ξ) = ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q̃_{n}(t, x, V, n)[f′f′_{∗} − ff_{∗}]dndξ_{∗}

= \frac{1}{1 + δ_{n} ∫ f_{n}(t, x, ξ)dξ} ∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q_{n}(V, n)[f′f′_{∗} − ff_{∗}]dndξ_{∗} .

Nasuprot tome s A_{n} ćemo i dalje označavati funkciju od samo jedne varijable A_{n}(V) := ∫_{S^{d−1}} q_{n}(V, n)dn. Sad smo spremni dokazati sljedeću lemu.

Lema 4. Za svaki T > 0, R > 0 nizovi

\frac{Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n})}{1 + f_{n}} i \frac{Q_{−}^{n}(f_{n}, f_{n})}{1 + f_{n}}

su sadržani u slabo kompaktnom podskupu od L^{1}([0, T] × R^{d} × B_{R}).

Dem. Za Q_{−}^{n} imamo 0 ⩽ \frac{Q_{−}^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}} ⩽ A_{n} ∗ f_{n}. Provjerit ćemo Dunford-Pettisov kriterij za A_{n} ∗ f_{n}, koristeći ocjene (14), (30) i (31) (koje vrijede uniformno po n za sve A_{n}).

Da bismo pokazali (a) primijetimo da koristeći (14) imamo:

∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} A_{n} ∗ f^{n}dξdx = ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ∫_{R^{d}} A_{n}(ξ − η)f^{n}(η)dηdξdx
= ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} A_{n}(ξ − η)dξf^{n}(η)dηdx
⩽ ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} C_{1}(1 + |η|^{2})f^{n}(η)dηdx ⩽ C .

Za dokaz tvrdnji (b) i (c) gledajmo prvo jednostavniji slučaj kad je A integrabilan, to jest ∥A∥_{L^{1}(R^{d})} < ∞. Onda zbog pretpostavke da q_{n} → q skoro svuda, koristeći eksplicitnu konstrukciju aproksimacije konvolucijom s izgladujućim nizom, možemo postići da a_{n} := ∥A_{n}∥_{L^{1}(R^{d})} → ∥A∥_{L^{1}(R^{d})}, pa bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti ograničenost niza a_{n}.

Definirajmo funkciju

ϕ(t) = \{ \begin{matrix}t ln t, & t ⩾ 1 \\ 0, & 0 ⩽ t ⩽ 1. \end{matrix}

Funkcija ϕ je konveksna i zadovoljava nejednakost

ϕ(L) ⩽ aϕ(\frac{L}{a})+L| ln a|

za svaki a > 0. Koristeći tu činjenicu dobivamo

∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ϕ(A_{n} ∗ f^{n})dξdx ⩽ a_{n} ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ϕ(\frac{A_{n} ∗ f^{n}}{a_{n}} )dξdx + | ln a_{n}|a_{n}∥f^{n}∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} .

Budući da je ϕ konveksna funkcija, možemo primijeniti Jensenovu nejednakost na prvi sumand na desnoj strani u gornjem retku:

\begin{aligned}ϕ(\frac{A_{n} ∗ f^{n}}{a_{n}} ) & = ϕ (∫_{R^{d}} \frac{A_{n}(ξ − ξ_{∗})f^{n}(ξ_{∗})}{a_{n}}dξ_{∗}) \\ & ⩽ ∫_{R^{d}} \frac{A_{n}(ξ − ξ_{∗})}{a_{n}}ϕ(f^{n}(ξ_{∗}))dξ = \frac{A_{n} ∗ ϕ(f_{n})}{a_{n}} . \end{aligned}

Pri tom je po Radon-Nikodymovom teoremu integrabilna funkcija \frac{A_{n}(ξ)}{a_{n}} shvaćena kao gustoća normirane mjere na R^{d} (s obzirom na Lebesgueovu mjeru).

Na osnovu toga slijede ocjene

∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ϕ(A_{n} ∗ f^{n})dξdx ⩽ ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} A_{n} ∗ ϕ(f^{n})dξdx + | ln a_{n}|a_{n}∥f^{n}∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})}
⩽ a_{n} ∫_{R^{d}} ∫_{R_{d}} ϕ(f^{n})dξdx + | ln a_{n}|a_{n}∥f^{n}∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} .

Sada uvjet (b) slijedi iz ocjene za ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ϕ(A_{n} ∗ f^{n})dξdx.

Da bismo provjerili posljednji uvjet u Dunford-Pettisovom teoremu razmotrimo član ∫_{R^{d}} ∫_{|ξ|⩾K} A_{n} ∗ f^{n}dξ i ocijenimo

∫_{R^{d}} ∫_{|ξ|⩾K} A_{n} ∗ f^{n}dξ ⩽ ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} A_{n}(ξ − ξ_{∗})f^{n}(t, x, ξ_{∗})χ_{{|ξ_{∗}|⩾K/2}}dξ_{∗}dξdx

+ ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} χ_{{|ξ|⩾K}}χ_{{|ξ_{∗}|⩾K/2}}A_{n}(ξ − ξ_{∗})f^{n}(t, x, ξ_{∗})dξ_{∗}dξdx

⩽ \frac{4a_{n}}{K^{2}} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} |ξ^{2}|f^{n}(t, x, ξ_{∗})dξ_{∗}dx +(∫_{|z|⩾K/2}A_{n}(z)dz)· ∥f^{n}∥_{L^{1}}

Desna strana teži uniformno k nuli po n i t kad K → ∞, i (c) slijedi.

U sljedećem koraku odstupamo od zahtjeva uniformne integrabilnosti niza (A_{n}). Sve što smo do sada pokazali vrijedi ako A_{n} ima nosač sadržan u kompaktnom skupu, tj. ako vrijedi

A_{n}(ξ) = A_{n}(ξ) · χ_{{|ξ|⩽K}} .

U suprotnom, definirajmo A_{n,K} kao desnu stranu gornje jednakosti. Slaba kompaktnost niza (A_{n} ∗ f^{n}) će slijediti ako pokažemo

sup_{n} ∥A_{n,K} ∗ f^{n} − A_{n} ∗ f^{n}∥_{L^{∞}([0,T];L^{1}(R^{d}×B_{R}))} → 0 kad K → ∞ .

Očito, A_{n} će tada zadovoljavati treći uvjet Dunford-Pettisovog teorema, a to jedino trebamo pokazati, budući da za prva dva uvjeta je dokaz valjan i kad je varijabla brzine ξ neograničena.

Za dokaz gornje konvergencije, primijetimo da je

∥A_{n,K} ∗f^{n}−A_{n}∗f^{n}∥_{L^{∞}(R^{d}×B_{R})} = ∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ∫_{R^{d}} A_{n}(ξ−ξ_{∗})χ_{{|ξ−ξ_{∗}|⩾K}}f^{n}(t, x, ξ_{∗})dξ_{∗}dξdx ,

pa pomoću (14) imamo

∫_{B_{R}} A_{n}(ξ − ξ_{∗})dξ ⩽ ϵ(1 + |ξ|^{2}) + C_{ϵ} .

Uz to je {ξ_{∗} : |ξ − ξ_{∗}| ⩾ K} ⊆ {ξ_{∗} : |ξ_{∗}| ⩾ K − R} za |ξ| < R, jer je |ξ_{∗}| ⩾ |ξ − ξ_{∗}| − |ξ| ⩾ K − R.

Slijedi

∫_{R^{d}} ∫_{B_{R}} ∫_{R^{d}} A_{n}(ξ − ξ_{∗}) · χ_{{|ξ−ξ_{∗}|⩾K}}f^{n}(x, ξ_{∗}, t)dξ_{∗}dξdx

⩽ ∫ ∫ (1 + |ξ_{∗}|^{2})f^{n} + \frac{C_{ϵ}}{(K − R)^{2}} ∫ ∫ (|ξ_{∗}|^{2})f^{n} ,

pa tvrdnja slijedi puštajući K → ∞, te ϵ ↘ 0.

Da bismo dokazali slabu kompaktnost niza (\frac{Q_{+}^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}}) u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), naj-

prije ga ocijenimo nizom (Q_{−}^{n}(f_{n}, f_{n})):

(34)  Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n}) ⩽ KQ_{−}^{n}(f_{n}, f_{n}) + \frac{4}{ln K} e_{n}(f_{n}) ,

gdje je

e_{n}(f^{n}) = ∫ ∫ q_{n}(ξ − ξ_{∗}, n)(f^{n′}f_{∗}^{n′} − f^{n}f_{∗}^{n}) ln (\frac{f^{n′}f_{∗}^{n′}}{f^{n}f_{∗}^{n}} ) dξ_{∗}dn ,

i K > 1. Dokaz tvrdnje (34) ćemo provesti na kraju leme. Na osnovu (5), niz (e_{n}(f^{n})) je ograničen u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}) uniformno po n, pa budući da smo već provjerili slabu kompaktnost za \frac{Q_{−}^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}}, pomoću (34) imamo da je niz (Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n})) uniformno omeden u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}). Time smo provjerili uvjet (a).

Kako bismo pokazali da vrijede i preostala dva uvjeta uzmimo proizvoljni izmjeriv skup A ⊆ R^{d} × R^{d}, kuglu B_{R} u R^{d} × R^{d} i ocijenimo

sup_{n} ∫_{0}^{T} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}}(χ_{A}(x, ξ) + χ_{\{|x|+|ξ|⩾R\}}(x, ξ))\frac{Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n})}{1 + f_{n}}dξdxdt

⩽ sup_{n} K ∫_{0}^{T} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}}(χ_{A}(x, ξ) + χ_{\{|x|+|ξ|⩾R\}}(x, ξ))\frac{Q_{−}^{n}(f_{n}, f_{n})}{1 + f_{n}}dξdxdt + \frac{C_{T}}{ln K} .

Uzmimo K dovoljno velik takav da je \frac{C_{T}}{ln K} ⩽ ϵ/2 (to možemo, budući da relacija (34)

vrijedi za svaki K > 1). Budući da je niz (\frac{Q_{−}^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}}) slabo kompaktan, možemo uzeti dovoljno veliki R i malen δ > 0 takav da za svaki skup A mjere manje od δ je integral u desnoj strani gornje nejednakosti manji od ϵ/2K. Time smo dokazali slabu kompaktnost niza (\frac{Q_{+}^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}}).

Za dokaz relacije (34), označimo s A_{K}^{n} = {(ξ, ξ_{∗}, n) : f^{n′}f_{∗}^{n′} ⩾ Kf^{n}f_{∗}^{n}} i B_{K}^{n} = cA_{K}^{n}, pa onda vrijedi

\begin{aligned}Q_{+}^{n} & = ∫ ∫ q_{n}f^{n′}f_{∗}^{n′} \\ & ⩽ K ∫ ∫ q_{n}f^{n}f_{∗}^{n}χ_{B_{K}^{n}} + ∫ ∫ q_{n}χ_{A_{K}^{n}}(f^{n′}f_{∗}^{n′} − f^{n}f_{∗}^{n}) + ∫ ∫ q_{n}f^{n}f_{∗}^{n}χ_{A_{K}^{n}} . \end{aligned}

Na skupu A_{K}^{n} je ln \frac{f^{n′}f_{∗}^{n′}}{f^{n}f_{∗}^{n}} ⩾ ln K, pa (34) lako slijedi.

Q.E.D.

Na isti način kao i (34) može se dokazati i da vrijedi

Q_{−}^{n}(f_{n}, f_{n}) ⩽ KQ_{+}^{n}(f_{n}, f_{n}) + \frac{4}{ln K} e_{n}(f_{n}) .

5. Prijelaz na slabo konvergentan podniz i prva svojstva limesa

Zato što funkcije f_{n} imaju uniformno ograničene entropije i druge momente (relacije (30) i (31)) iz kriterija relativne kompaktnosti (III.3) slijedi da je za svaki t ∈ [0, T] niz (f_{n}(t, ·)) slabo relativno kompaktan u L^{1}(R^{d} × R^{d}). Takoder, vrijedi da (f_{n}) ima podniz (kojeg ćemo isto označavati s f^{n}) koji konvergira slabo u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), čiji limes označimo s f. Definirajmo g_{δ}^{n} := \frac{1}{δ} ln(1 + δf^{n}). Tada vrijedi

(35)  sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∥f^{n}(t, ·) − g_{δ}^{n}(t, ·)||_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} → 0 kad δ → 0 .

Za dokaz te tvrdnje definirajmo funkciju β_{δ}(t) := \frac{1}{δ} ln(1 + δt) koja zadovoljava 0 ⩽ β_{δ}(t) ⩽ t i

t − β_{δ}(t) ⩽ ε_{R}(δ)t + tχ_{{t⩾R}} ,

za t ∈ [0, ∞⟩, R < ∞, i funkciju ε_{R} takvu da ε_{R}(δ) → 0 kad δ ↘ 0. Gornja nejednakost se lako pokaže koristeći razvoj u red člana ln(1 + δt) (pri tom se uzme δ < 1/R, kako bi produkt |δ · t| bio manji od 1, što nam onda omogućuje razvoj). Vidi se da možemo uzeti funkciju ε_{R}(δ) = \frac{δt}{2}, koja očigledno zadovoljava tražene uvjete.

Sada možemo izvesti sljedeće ocjene

\begin{aligned}∫ ∫ |g_{δ}^{n} − f^{n}|dxdξ & ⩽ ∫ ∫ |ε_{R}(δ)f^{n}|dxdξ + ∫ ∫ |f^{n}χ_{\{f^{n}⩾R\}}|dxdξ \\ & = ε_{R}(δ) ∫ ∫ |f^{n}|dxdξ + ∫ ∫_{|f^{n}|⩾R} |f^{n}|dxdξ . \end{aligned}

Budući da je niz (f_{n}) slabo konvergentan, koristeći (30) dobivamo ocjenu (35) gledajući limes kad R → ∞ i δ ↘ 0. Takoder, na osnovu prijenosnog teorema (III.3), zbog

T g_{δ}^{n} = \frac{1}{1 + δf^{n}} Q^{n}(f^{n}, f^{n})

dobivamo

g_{δ}^{n♯}(t + h) − g_{δ}^{n♯}(t) = ∫_{t}^{t+h} \frac{Q^{n}(f^{n}, f^{n})^{♯}(s)}{1 + δf^{n♯}(s)}ds .

Na osnovu slabe predkompaktnosti niza (\frac{Q^{n}(f_{n},f_{n})}{1+f_{n}}) u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), dokazane u

prethodnoj lemi, slijedi i da je niz (\frac{Q^{n}(f_{n},f_{n})}{1+δf_{n}}) slabo predkompaktan. Zbog toga je niz funkcija

F_{n} := ∫ ∫ \frac{Q^{n}(f_{n}, f_{n})}{1 + δf_{n}}dxdξ

slabo predkompaktan u L^{1}[0, T], za svaki δ ∈ [0, 1]. Na osnovu rečenog možemo zaključiti da je za svaki T > 0 i R > 0

sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∥g_{δ}^{n♯}(t + h) − g_{δ}^{n♯}(t)∥_{L^{1}(R^{d}×B_{R})} ⩽ sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∫_{t}^{t+h} ∫ ∫ |\frac{Q^{n}(f^{n}, f^{n})^{♯}(s)}{1 + δf^{n♯}(s)}|

⩽ sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∫_{t}^{t+h} |F^{n♯}(t)| ⟶ 0 ,

kad h → 0.

Koristeći (35) dobivamo

sup_{t∈[0,T]} ∥f^{n♯}(t + h) − f^{n♯}(t)∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} ⩽ O(δ) + sup_{t∈[0,T]} ∥g_{δ}^{n♯}t + h) − g_{δ}^{n♯}(t)∥_{L^{1}(R^{d}×B_{R})} .

Iz ovoga lako slijedi

sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∥f^{n♯}(t + h) − f^{n♯}(t)∥_{L^{1}(R^{d}×R^{d})} → 0 kad h → 0 ,

i koristeći Arzèla-Ascolijev teorem dobijemo da (slabi) limes f^{♯} niza (f_{n}^{♯}) zadovoljava

f^{♯} ∈ C(R_{0}^{+}; L^{1}(R^{d} × R^{d})) ,

i da za svaki T > 0

sup_{t∈[0,T]} ∥f^{♯}(t + h) − f^{♯}(t)∥_{L^{1}} → 0 kad h → 0 .

Zapravo, provodeći zamjenu varijabli pokaže se da je

f ∈ C(R_{0}^{+}; L^{1}(R^{d} × R^{d})) .

Takoder, koristeći konveksnost funkcije z ↦ z · max{ln z, 0}, za svaki t ∈ R_{0}^{+} vrijedi

(36)

∫ ∫ f| ln f|dξdx + lim sup_{n} ∫_{0}^{t} ∫ ∫ e_{n}(f^{n})dξdx
⩽ ∫ ∫ f_{0}(| ln f_{0}| + 2|x|^{2} + 2|ξ|^{2})dξdx + C_{d}

i

∫ ∫ f(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dξdx ⩽ ∫ ∫ f_{0}(1 + 2|x|^{2} + (2t^{2} + 1)|ξ|^{2})dξdx .

Lema 5. Neka u ∈ L^{2}(R × R^{d} × R^{d}) ima kompaktan nosač i pretpostavimo da je T u ∈ L^{2}(R × R^{d} × R^{d}). Onda je funkcija

∫ u(·, ·, ξ)dξ

u prostoru H^{1/2}(R × R^{d}), i njezina norma ovisi samo o ∥u∥_{L^{2}},∥T u∥_{L^{2}} i nosaču funkcije u. Dem. Neka je û(τ, z, ξ) Fourierova transformacija funkcije u obzirom na varijable t i x:

û(τ, z, ξ) = ∫_{R} ∫_{R^{d}} e^{−2πi(x·z+tτ)}u(t, x, ξ)dxdt .

Zbog Plancherelovog teorema i jednakosti:((∂_{t} +ξ ·∇_{x})u)^{∧} = 2πi(τ +ξ ·z)û , û i (τ +ξ ·z)û su funkcije u prostoru L^{2}(R×R^{d}×R^{d}) i imaju kompaktan nosač obzirom na ξ. Rastavimo integral

∫ û(z, ξ, τ)dξ = I_{1} + I_{2} .

Označimo ρ = (τ^{2} + |z|^{2})^{1/2}, τ_{0} := \frac{τ}{ρ}, z_{0} := \frac{z}{ρ}, te definirajmo

\begin{aligned}I_{1} & = ∫_{\{|τ_{0}+ξz_{0}|⩽ \frac{1}{ρ} \}} ûdξ \\ I_{2} & = ∫_{\{|τ_{0}+ξz_{0}|⩾ \frac{1}{ρ} \}} ûdξ . \end{aligned}

Za ocjenu prvog člana koristit ćemo činjenicu da za svaki kompaktan skup K ⊆ R^{d} postoji ϵ_{0} > 0 i C > 0 takvi da za svaki ϵ ∈ ⟨0, ϵ_{0}⟩

sup_{(τ_{0},z_{0})∈S^{d}} λ{ξ ∈ K : |τ_{0} + ξz_{0}| ⩽ ϵ} ⩽ Cϵ .

Ta se relacija dokazuje tako da na zbroj τ_{0} +ξ ·z_{0} gledamo kao na skalarni produkt vektora (1, ξ) i (τ_{0}, z_{0}) u R^{d+1}, pri čemu je drugi vektor jediničan. Označimo s ξ_{0} ∈ R^{d} vektor za koji je |τ_{0} + ξ_{0} · z_{0}| = 0. Za proizvoljan ξ ∈ R^{d} napravimo rastav ξ = ξ_{0} + ξ′, pa zakjučujemo

|τ_{0} + ξ · z_{0}| ⩽ |τ_{0} + (ξ_{0} + ξ′) · z_{0}| ⩽ |ξ′ · z_{0}| ⩽ |ξ′| .

Ako sa B_{d} označimo volumen jedinične kugle u R^{d}, onda vrijedi

sup_{(τ_{0},z_{0})∈S^{d}} λ{ξ ∈ K : |τ_{0} + ξz_{0}| ⩽ ϵ} ⩽ λ{ξ ∈ K : ξ = ξ_{0} + ξ′, |ξ′| ⩽ ϵ} ⩽ B_{d}ϵ .

Stavljajući ϵ = \frac{1}{ρ} u upravo dokazanoj relaciji i koristeći Cauchy-Schwartzovu nejednakost, dobijamo:

|I_{1}|^{2} ⩽ (∫_{\{|τ_{0}+ξz_{0}|⩽ \frac{1}{ρ} \}} 1dξ)·(∫ |û|^{2}dξ)⩽ \frac{C}{ρ} ∫ |û|^{2}dξ

i

|I_{2}|^{2} = ∫_{\{ξ∈K:|τ_{0}+ξz_{0}|⩾ \frac{C}{ρ} \}} \frac{|τ + ξz|^{2}}{|τ_{0} + ξz_{0}|ρ^{2}} |û|^{2}dξ

⩽ \frac{1}{ρ^{2}} (∫_{\{ξ∈K:|τ_{0}+ξz_{0}|⩾ \frac{C}{ρ} \}} |τ_{0} + ξz_{0}|^{−2}dξ)·(∫ |τ + ξz|^{2}|û|^{2}dξ)

⩽ \frac{C}{ρ} ∫ |τ + ξz|^{2}|û|^{2}dξ .

Zadnja jednakost slijedi iz elementarne integracije

∫_{\{ξ∈K:|τ_{0}+ξz_{0}|⩾ \frac{1}{ρ} \}} |τ_{0} + ξz_{0}|^{−2}dξ ⩽ C′ · ρ .

Konstanta C′ ovisi o nosaču funkcije û u varijabli ξ. Zbog toga što su û, (τ + ξ · z)û ∈ L^{2}(R × R^{d} × R^{d}) ocjene za I_{1} i I_{2} impliciraju

(37)  ∫ ∫ ρ(|I_{1}|^{2} + |I_{2}|^{2})dzdτ = ∫ ∫ (τ^{2} + |z|^{2})^{1/2}| ∫ û(z, ξ, τ)dξ|^{2}dzdτ < ∞ .

Sada jedino preostaje dokazati da zadnja nejednakost povlači

∫ udξ ∈ H^{1/2} .

Norma funkcije f u prostoru H^{1/2}(R × R^{d}) je dana izrazom

∥f∥_{H^{1/2}}^{2} = (∫ ∫ (1 + (τ^{2} + |z|^{2})^{1/8})^{2} |f̂(τ, z)|^{2}dzdτ) ,

pa imamo da za f := ∫ udξ vrijedi

∥ ∫ udξ∥_{H^{1/2}} = ∫ ∫ (1 + 2(τ^{2} + |z|^{2})^{1/8} + (τ^{2} + |z|^{2})^{1/4}) | ∫ û(z, ξ, τ)dξ|dzdτ .

Pomoću (37) zaključujemo

∫ ∫ (τ^{2} + |z|^{2})^{1/4}|∫ ûdξ|dzdτ ⩽ ∫ ∫_{{τ^{2}+|z|^{2}⩽1}} |∫ ûdξ|dzdτ
+ ∫ ∫_{{τ^{2}+|z|^{2}⩾1}}(τ^{2} + |z|^{2})^{1/2}| ∫ ûdξ|dzdτ
⩽ ∫_{R} ∫_{R^{d}×R^{d}} |û|dξdzdτ
+ ∫_{R} ∫_{R^{d}}(τ^{2} + |z|^{2})^{1/2}| ∫ ûdξ|dzdτ
< ∞ .

Slično se pokaže i da vrijedi ocjena ∫ ∫ (τ^{2}+|z|^{2})^{1/8}| ∫ ûdξ|dzdτ < ∞, dok nejednakost

∫ ∫ | ∫ ûdξ|dzdτ < ∞ slijedi trivijalno iz činjenice da je û ∈ L^{2}. Time smo dokazali da je

∥ ∫ udξ∥_{H^{1/2}} < ∞, odnosno ∫ udξ ∈ H^{1/2}.

Q.E.D.

6. Jaka konvergencija

Lemu 5 ćemo koristiti za prijelaz sa slabe na jaku konvergenciju koji vršimo u sljedećoj lemi. Ona će biti ključna u završavanju dokaza glavnog teorema.

Lema 6. Pretpostavimo da je g_{n} ⊆ L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}) slabo relativno kompaktan i da je T g_{n} slabo relativno kompaktan u L_{loc}^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}). Ako je ψ_{n} omeden niz u L^{∞}([0, T] × R^{d} × R^{d}) koji konvergira (ss), tada je (∫ g_{n}ψ_{n}dξ) kompaktan u normiranoj topologiji L^{1}([0, T] × R^{d}). Dem. Budući da na osnovu (III.3) za svaki ϵ > 0 postoji kompaktan skup K ⊆ (0, T) × R^{d} × R^{d}) takav da za svaki n

∫ ∫ ∫_{cK}(|g_{n}ψ_{n}| + |gψ|) < ϵ ,

možemo pretpostaviti da svi g_{n} (uključujući i g) imaju nosač sadržan u kompaktnom skupu. Takoder, zbog Egorovljevog teorema ψ_{n} → ψ uniformno, osim na skupu proizvoljno male mjere, pa možemo uzeti ψ_{n} = ψ za svaki n. Štoviše, dovoljno je uzeti ψ = 1: naime, ako je ψ dovoljno glatka, tada g_{n}ψ zadovoljava iste zahtjeve kao i g_{n}, a ako je ψ u L^{∞}, možemo je aproksimirati s C^{∞} funkcijama ψ_{k} takvim da ∥ψ_{k} − ψ∥_{L^{1}} → 0 i sup_{k} ∥ψ_{k}∥_{L^{∞}} < ∞. Onda vrijedi

∫ ∫ | ∫ ψ_{k}g_{n}dξ − ∫ ψg_{n}dξ|dxdt ⩽ ∫ ∫ ∫ |ψ_{k} − ψ||g_{n}|dtdxdξ .

Zbog omedenosti niza |ψ_{k} − ψ| u L^{∞}, prema teoremu Banach-Alaouglu-Bourbakia on je

kompaktan u slaboj * topologiji. Kako je L^{1} separabilan prostor, to slijedi da su omedeni skupovi u L^{∞} metrizabilni u slaboj * topologiji, pa je zato kompaktnost niza |ψ_{k} − ψ| ekvivalentna posjedovanju slabo * konvergentnog podniza, kojeg ćemo jednako označavati. Medutim, konvergencija ψ_{k} − ψ → 0 (ss) povlači |ψ_{k} − ψ|−⇀^{∗}0, stoga

∫ ∫ ∫ |ψ_{k} − ψ||g_{n}|dtdxdξ → 0 ,

pa smo time dokazali da je dovoljno razmatrati slučaj ψ = 1.

Definirajmo sada funkcije u_{n} i h_{n} na sljedeći način:

\{ \begin{matrix}T u_{n} & = T g_{n} · χ_{\{(x,ξ,t);|T g_{n}|⩽M\}} \\ u_{n}|_{t=0} & = 0 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}T h_{n} & = T g_{n} · χ_{\{(x,ξ,t);|T g_{n}|⩾M\}} \\ h_{n}|_{t=0} & = 0 . \end{matrix}

Očito je g_{n} = u_{n} +h_{n}, jer T (u_{n} +h_{n}) = T g_{n}, a g_{n} je jedinstveno rješenje Cauchyeve zadaće T f = T g_{n}, f|_{t=0} = 0.

Zbog slabe kompaktnosti niza (T g_{n}) možemo iskoristiti ocjenu (III.4), pa koristeći eksplicitnu formulu za funkciju h

h_{n}(x + tξ, ξ, t) = ∫_{0}^{t} T g_{n}(x + tξ, ξ, t)χ_{{|T g_{n}|⩾M}}(x + tξ, ξ, t)dτ ,

slijedi

∫_{0}^{T} ∫_{R^{d}} ∫_{R^{d}} |h_{n}(x, ξ, t)|dxdξdt → 0.

Niz (T u_{n}) je ograničen u prostoru L^{∞}, pa iz eksplicitne formule za funkcije u_{n} zaključujemo da su i one ograničene u L^{∞}. Medutim, iz uniformne kompaktnosti nosača niza (g_{n}) slijedi da su (u_{n}) i (T u_{n}) omedeni nizovi u L^{2}, što nam omogućuje korištenje Leme 5, po kojoj zaklučujemo da je (∫ u_{n}dξ) omeden u H^{1/2}. Zbog kompaktnosti ulaganja prostora H^{1/2} u L^{2}, slijedi da je (∫ u_{n}dξ) kompaktan u L^{2}. Zato što smo pretpostavili da niz (g_{n}) ima uniformno kompaktan nosač slijedi da i niz (∫ u_{n}dξ) ima isto svojstvo. Njegov nosač označimo s K. Budući da je za svaki kompaktan skup L^{2}(K) uloženo u L^{1}(K), i pri tom je to ulaganje neprekidno, imamo da je niz (∫ u_{n}dξ) kompaktan u L^{1} i time je dokaz završen.

Q.E.D.

Korolar 1. Uz pretpostavke Leme 6, ako g_{n} ⇀ g u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}) i ψ_{n} → ψ (ss), onda vrijedi

|| ∫ g_{n}ψ_{n}dξ − ∫ gψdξ||_{L^{1}([0,T]×R^{d})} → 0 .

Dem. Lema nam već osigurava egzistenciju jakog limesa niza (∫ g_{n}ψ_{n}dξ), kojeg ćemo označiti s L, a ono što treba provjeriti je da je taj limes jednak ∫ gψdξ. Dokaz se zasniva na relaciji (III.2), koja kaže da g_{n}ψ_{n} ⇀ gψ u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}). Tada za proizvoljnu funkciju ϕ ∈ L^{∞}([0, T] × R^{d} × R^{d}) imamo

∫ ∫ ∫ g_{n}ψ_{n}ϕdtdxdξ → ∫ ∫ ∫ gψϕdtdxdξ

i

∫ ∫ ∫ g_{n}ψ_{n}ϕdtdxdξ → ∫ ∫ Lϕdtdx .

Zbog jedinstvenosti limesa slijedi

⟨∫ gψ, ϕ⟩ = ⟨L, ϕ⟩ ,

to jest ∫ gψ i L su jednaki u smislu distribucija, i time je dokaz završen zbog uloženosti prostora L^{1} u prostor distribucija.

Q.E.D.

Lema 7. Neka je (f_{n}) relativno slabo kompaktan niz u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}) i pretpostavimo da postoji familija realnih, uniformno Lipschitzovih funkcija (β_{δ}; δ > 0) , β_{δ}(0) = 0 za svaki δ, takvih da

i) β_{δ}(s) → s kad δ → 0, uniformno na kompaktnim podskupovima od R_{0}^{+}, ii) niz T (β_{δ}(f^{n})) je za svaki δ slabo relativno kompaktan u L_{loc}^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}).

Ako uz to f^{n} ⇀ f, i ako je (ψ_{n}) omeden u L^{∞}([0, T] × R^{d} × R^{d}) i ψ_{n} → ψ (ss), onda vrijedi

lim_{n→∞} || ∫ f_{n}ψ_{n}dξ − ∫ fψdξ||_{L^{1}} = 0 .

Dem. Po pretpostavci je (f_{n}) slabo kompaktan, pa pomoću (III.4) zaključujemo da je za dovoljno veliki R izraz sup_{n} ∫_{{f^{n}⩾R}} |f^{n}| proizvoljno malen. Slično, po Dunford-Pettisovom teoremu možemo ocijeniti sup_{n} ∫_{R^{d}\K} |f^{n}| za neki kompaktan skup K. Iskoristit ćemo takoder Lipschitzovo svojstvo funkcija β_{δ}, tako da iz jednakosti β_{δ} = 0 dobijemo |β_{δ}(f^{n})| ⩽ C|f^{n}|. Iz toga neposredno zaklučujemo da je niz (β_{δ}(f^{n})) slabo kompaktan u L^{1}, i jedno njegovo gomilište označimo sa g_{δ} (podniz ćemo i dalje označavati jednako kao i limes).

Pokušajmo sada ocijeniti integral ∫ ∫ ∫ |f^{n}−β_{δ}(f^{n})|dtdxdξ. Rastavimo ga na sljedeći način

∫ ∫ ∫ |f^{n} − β_{δ}(f^{n})|dtdxdξ ⩽ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩽R}\K} |f^{n} − β_{δ}(f^{n})|dtdxdξ
+ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩽R}∩K} |f^{n} − beta_{δ}(f^{n})|dtdxdξ
+ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩾R}} |f^{n} − β_{δ}(f^{n})|dtdxdξ
⩽ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩽R}\K}(C + 1)|f^{n}|dtdxdξ
+ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩽R}∩K} |f^{n} − β_{δ}(f^{n})|dtdxdξ
+ ∫ ∫ ∫_{{f^{n}⩾R}}(C + 1)|f^{n}|dtdxdξ .

Zbog toga što β_{δ}(s) → s uniformno na kompaktnim skupovima, zaključujemo da

(38)  sup_{n} ∥f^{n} − β_{δ}(f^{n})∥_{L^{1}} → 0 ,

kad δ → 0. Sada možemo primjeniti Lemu 6 na niz funkcija g_{δ}^{n} := β_{δ}(f^{n}) iz čega slijedi

\begin{aligned}|| ∫ f_{n}ψ_{n}dξ − ∫ fψdξ||_{L^{1}} & ⩽ || ∫ f_{n}ψ_{n}dξ − ∫ β_{δ}(f^{n})ψ_{n}dξ||_{L^{1}} \\ & +|| ∫ β_{δ}(f^{n})ψ_{n}dξ −∫ g_{δ}ψdξ||_{L^{1}}+|| ∫ g_{δ}ψdξ −∫ fψdξ||_{L^{1}} \end{aligned}

Dokaz leme će biti potpun ako pokažemo da ∥f − g_{δ}∥_{L^{1}} → 0 kad δ → 0. To se pak lako pokaže koristeći relaciju (38) i

∥f − g_{δ}∥_{L^{1}} = sup_{ϕ,∥ϕ∥_{L^{∞}}⩽1}∫ (f − g_{δ}) · ϕ ,

i

sup_{ϕ∈L^{∞}} lim_{n} ∫ (f − β_{δ}(f^{n}))ϕ ⩽ lim inf_{n} sup_{ϕ∈L^{∞}}(f − β_{δ}(f^{n}))ϕ .

Q.E.D.

7. Limes je renormalizirano rješenje

Lema 8. Neka je (f^{n}) niz aproksimativnih rješenja Boltzmannove jednadžbe definiranih u prethodnom odjeljku. Tada on ima podniz sa svojstvom da za svaki T > 0 vrijedi

i) ∫ f^{n}dξ → ∫ fdξ u L^{1}([0, T] × R^{d}), kao i za skoro svaki (t, x), ii) A_{n} ∗ f^{n} → A ∗ f u L^{1}([0, T] × R^{d} × B_{R}) za svaki R > 0, kao i za skoro svaki (t, x, ξ), iii) za svaku funkciju ϕ ∈ L^{∞}([0, T] × R^{d} × R^{d}) s kompaktnim nosačem vrijedi

\frac{∫ Q_{±}^{n}(f^{n}, f^{n})ϕdξ}{1 + n ∫ f^{n}dξ} ⟶ \frac{∫ Q_{±}^{n}(f, f)ϕdξ}{1 + n ∫ fdξ}

u L^{1}([0, T] × R^{d}).

Dem. i) Definirajmo funkciju β_{δ}(s) = \frac{1}{δ} ln(1 + δs). Na osnovu Leme 4 je T (β_{δ}(f^{n})) slabo konvergentan u L_{loc}^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), a kako uz to β_{δ} zadovoljava i sve ostale pretpostavke Leme 7, primjenjujući nju uz ψ_{n} = 1 dobivamo konvergenciju niza (∫ f^{n}dξ) u L^{1}([0, T] × R^{d}). To povlači postojanje podniza koji konvergira skoro svuda i time je dokazana prva tvrdnja.

ii) Dokaz ove tvrdnje je sličan dokazu prethodne, a detaljno raspisan može se pronaći u [DL1, str. 340].

iii) Za dokaz konvergencije Q_{−}^{n} = \frac{f^{n}A_{n}∗f^{n}}{1+∫ fdξ} · ϕ definirajmo ψ_{n} := \frac{A_{n}∗f^{n}}{1+∫ fdξ} · ϕ. Iz (i) i (ii) slijedi da ψ_{n} → ψ (ss), pa nam Lema 7 opet daje tvrdnju. Za slučaj Q_{+} provode se slična razmatranja. Koristeći zamjenu varijabli, možemo napisati

\frac{∫ Q_{+}^{n}(f^{n}, f^{n})ϕdξ}{1 + n ∫ f^{n}dξ} = \frac{∫ ∫ ∫ q_{n}f^{n}f_{∗}^{n}ϕ′}{1 + n ∫ f^{n}dξ} .

Označimo

ψ_{n}(t, x, ξ) := \frac{∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q_{n}(ξ − ξ_{∗}, n)f^{n}(t, x, ξ_{∗})ϕ(x, ξ′, t)dndξ_{∗}}{(1 + n ∫ f^{n}dξ)} .

Želimo pokazati da ψ_{n} zadovoljava uvjete Leme 7 kako bismo iz nje dobili traženu tvrdnju. Za to pokazati, koristit ćemo se opet Lemom 7. Uz oznaku

ψ̃_{n}(t, x, ξ) = \frac{∫_{R^{d}} ∫_{S^{d−1}} q_{n}(ξ − ξ_{∗}, n)ϕ(x, ξ′, t)dndξ_{∗}}{(1 + n ∫ f^{n}dξ)} ,

zbog tvrdnje (i) i svojstava niza (q_{n}) slijedi da ψ̃_{n} → ψ̃ (ss), pa primjenom Leme 7 zaključujemo da ψ_{n} → ψ u L^{1}. Jaka konvergencija povlači konvergenciju skoro svuda (uz prijelaz na podniz), pa nam Lema 7 daje tvrdnju.

Q.E.D.

Definirajmo sada operator T^{−1} koji funkciji g pridružuje rješenje Cauchyevog problema

\{ \begin{matrix}T u & = g \\ u|_{t=0} & = 0 . \end{matrix}

Eksplicitan izraz za funkciju T^{−1}g je

T^{−1}g(t, x, ξ) = ∫_{0}^{t} g(s, x − (t − s)ξ, ξ)ds .

Lako se provjeri da je T^{−1} neprekidan operator iz prostora L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc})), te da za nenegativnu funkciju g vrijedi da je T^{−1}g nenegativno. Uzmimo F ∈ C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc})), F ⩾ 0 te definirajmo operator T_{F}^{−1} := e^{−F} T^{−1}e^{F}. Iz svojstava funkcije F slijedi da je T_{F}^{−1} takoder neprekidan iz L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc})).

Za omedeni niz (F_{n}) u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc})) za koji vrijedi F_{n} ⩾ 0, F_{n}(t, x, ξ) → F (t, x, ξ) za svaki t i skoro svaki (x, ξ), ako g_{n} ⇀ g u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) onda imamo da za svaki t ∈ [0, T] vrijedi

(39)  T_{F_{n}}^{−1}g_{n}(t) ⇀ T_{F}^{−1}g(t)

u L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}). Za dokaz relacije (39) uočimo da je

T_{F_{n}}^{−1}g_{n}(t, x, ξ) = ∫_{0}^{t} e^{−F_{n}(t,x,ξ)}e^{F_{n}(s,x−(t−s)ξ,ξ)}g_{n}(s, x − (t − s)ξ, ξ)ds .

Uzmimo proizvoljnu funkciju h ∈ L^{∞}(R^{d} × R^{d}_{loc}) i pokažimo da

∫ ∫ ∫_{0}^{t} e^{−F_{n}(t,x,ξ)}e^{F_{n}(s,x−(t−s)ξ,ξ)}g_{n}(s, x − (t − s) ξ, ξ)ds · h(x, ξ)dxdξ

→ ∫ ∫ ∫_{0}^{t} e^{−F (t,x,ξ)}e^{F (s,x−(t−s)ξ,ξ)}g(s, x − (t − s) ξ, ξ)ds · h(x, ξ)dxdξ .

Pokazat ćemo da za svaki s, t vrijedi F_{n}(s, x − (t − s)ξ, ξ) − F_{n}(t, x, ξ) ⩽ 0. Tada će naime za funkciju

H(t, x, ξ) := e^{F_{n}(s,x−(t−s)ξ,ξ)−F_{n}(t,x,ξ)} · h(x, ξ)

vrijediti H ∈ L^{∞}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}), pa će zbog slabe konvergencije niza (g_{n}) u prostoru L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) dokaz biti završen. Medutim, tražena nejednakost se lako dokaže:

F_{n}(s, x−(t−s)ξ, ξ)−F_{n}(t, x, ξ)=F_{n}(0,x−(t−s)ξ,ξ)+∫_{0}^{s}T F_{n}(τ, x−(t−s)ξ−(s−τ)ξ,ξ)dτ

− F_{n}(0, x − (t − s)ξ, ξ) − ∫_{0}^{t} T F_{n}(τ, x − (t − τ)ξ, ξ)dτ

= − ∫_{s}^{t} T F_{n}(τ, x − (t − τ)ξ, ξ)dτ ⩽ 0 .

Označimo F_{n} = T^{−1}(A_{n}∗f_{n}) i iskoristimo (39) za dokaz egzistencije renormaliziranog rješenja Boltzmannove jednadžbe:

T f^{n} + (A_{n} ∗ f_{n})f_{n} = Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n}) .

Množeći jednadžbu s e^{F_{n}} zaključujemo da vrijedi

T (f^{n}e^{F_{n}}) = (T f^{n})e^{F_{n}} + f^{n}(T F_{n})e^{F_{n}} = e^{F_{n}}Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n}).

Djelovanjem operatora T^{−1} na gornju jednakost slijedi

T^{−1} (T (f^{n}e^{F_{n}})) = f^{n}e^{F_{n}} − f_{0}^{n}e^{F_{n}^{0}} = T^{−1} (e^{F_{n}}Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n})) ,

odnosno, zbog F_{n}^{0} = 0

(40)  f^{n} = f_{0}^{n}e^{−F_{n}} + T_{F_{n}}^{−1}Q_{+}^{n}(f_{n}, f_{n}) .

Na osnovu Leme 8 zaključujemo da je (F_{n}) omeden niz u C([0, T]; L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}), te da za svaki t ∈ R_{0}^{+} vrijedi

F_{n} → F = T^{−1}(A ∗ f) (ss) .

Lema 9. Za svaki t ∈ R_{0}^{+} je T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) ∈ L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}) i

f = f_{0}e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) .

Dem. Definirajmo β_{m}(t) = min{t, m} za t ⩾ 0 i m ∈ N. Po Dunford-Pettisovom teoremu možemo zaključiti da

g_{m}^{n} := β_{m} ∘ f^{n} ⇀ g_{m}

u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), pa na osnovu dokaza Leme 7 slijedi da

g_{m} → f kad m → ∞

u L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}). Na osnovu Leme 4 i relacija

T g_{m}^{n} = Q_{n}(f^{n}, f^{n}) · χ_{\{f^{n}⩽m\}} ⩽ (m + 1)\frac{Q_{n}(f^{n}, f^{n})}{1 + f^{n}}

imamo da niz (g_{m}^{n}) zadovoljava uvjete Leme 7, pa na potpuno analogan način kao u dokazu tvrdnje (iii) Leme 8, zaključujemo da Q_{+}^{n}(g_{m}^{n}, g_{m}^{n}) ⇀ Q_{+}(g_{m}, g_{m}) u L^{1}([0, T] × R^{d} × B_{R}), za svaki R > 0.Kako je (g_{m}^{n}) niz rastućih funkcija omedenih odozgo funkcijom f_{n}, što povlači nejednakost Q_{+}^{n}(g_{m}^{n}, g_{m}^{n}) ⩽ Q_{+}^{n}(f^{n}, f^{n}), pa pomoću (40) zaključujemo

f^{n} ⩾ f_{0}^{n}e^{−F_{n}} + T_{F_{n}}^{−1}Q_{+}^{n}(g_{m}^{n}, g_{m}^{n}) .

Gledajući slabi limes gornje nejdnakosti iz (39) slijedi

f ⩾ f_{0}e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(g_{m}, g_{m}) .

Iz Lebesgueovog teorema o monotonoj konvergenciji zaključujemo da T_{F}^{−1}Q_{+}(g_{m}, g_{m}) → T_{F}^{−1}Q_{+}(f,f) pa na osnovu zadnje nejednakosti možemo zaključiti da je T_{F}^{−1}Q_{+}(f,f) ∈ L^{1}([0,T]×R^{d} × R^{d}) i

(41)  f ⩾ f_{0}e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) .

Za dokaz suprotne nejednakosti definirajmo

h_{m}^{n} := m ln(1 + f^{n}/m) .

Cauchyjeva zadaća za Boltzmannovu jednadžbu

Koristeći račun sličan onom kojeg smo koristili za dobivanje (40), lako se dobije

(42)  \begin{aligned}h_{m}^{n} = m ln(1 + f_{0}^{n}/m) & + T_{F_{n}}^{−1} (\frac{Q_{+}^{n}(f^{n}, f^{n})}{1 + f^{n}/m}) \\ & + T_{F_{n}}^{−1} (A_{n} ∗ f^{n} (h_{m}^{n} − \frac{f^{n}}{1 + f^{n}/m})) . \end{aligned}

Zaključujući na jednak način kao i prije, te prelaskom na podniz po potrebi, možemo pisati

\begin{matrix}h_{m}^{n} ⇀ h_{m}, & h_{m} → f  u L^{1} \\ \frac{f^{n}}{1 + f^{n}/m} ⇀ l_{m}, & l_{m} → f  u L^{1} . \end{matrix}

Pri tom smo pri zaključivanju zadnje konvergencije koristili Lemu 4 i ocjenu

\frac{Q}{(1 + f_{n}/m)^{2}} ⩽ \frac{Q}{1 + f_{n}/m} .

Takoder vrijedi

(43)  \frac{Q_{+}^{n}(f^{n}, f^{n})}{1 + f^{n}/m} ⇀ Q_{+,m} .

Podsjetimo se da na temelju Leme8 (iii) vrijedi

(44)  \frac{∫ Q_{+}^{n}(f^{n}, f^{n})ϕdξ}{1 + ∫ f^{n}dξ} → \frac{∫ Q_{+}(f, f)ϕdξ}{1 + ∫ fdξ}

za svaku funkciju ϕ ∈ L^{∞} s kompaktnim nosačem. Pomnožimo lijevu stranu (43) s \frac{ϕdξ}{1+n ∫ fdξ}, (ϕ ⩾ 0) i integrirajmo po varijabli ξ. Dobiveni niz konvergira k ^{\frac{∫ Q_{+,m}ϕdξ}{1+∫ fdξ}}. Zbog ocjene (44) ovaj limes je manji od ^{\frac{∫ Q_{+}(f,f)ϕdξ}{1+∫ fdξ}}, pa iz toga zaključujemo

Q_{+,m} ⩽ Q_{+}(f, f) (ss) .

Gledajući slabi limes kad n → ∞ u (42), nalazimo

h_{m} ⩽ m ln (1 + \frac{f^{n}}{m} ) e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) + T_{F}^{−1}(A ∗ f(h_{m} − l_{m})) .

Uzimajući opet limes, ovaj put po m, dobivamo traženu nejednakost

f ⩽ f_{0}e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) ,

koja zajedno s nejednakošću (42) implicira tvrdnju ove leme:

(45)  f = f_{0}e^{−F} + T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) .

Q.E.D.

Zadnja jednakost nam već govori da funkcija f zadovoljava Boltzmannovu jednadžbu u nekom smislu. Mi ćemo sada po kriterijima danim u poglavlju (IV.2) jednostavno provjeriti da je to traženo renormalizirano rješenje.

Prvo, koristeći pretpostavke na A i relaciju

sup_{t∈[0,T]} sup_{n} ∫ ∫ f^{n}(1 + |x|^{2} + |ξ|^{2})dxdξ < ∞ ,

lako se pokaže da je za svaki T < ∞

(46)  \frac{Q_{−}(f, f)}{1 + f} ∈ L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) .

Za dokazati analognu tvrdnju za Q_{+}(f, f), prisjetimo se da na osnovu (36) imamo

\frac{Q_{±}^{n}(f^{n}, f^{n})}{1 + δ∫ f^{n}dξ} ⩽ 2Q_{∓}^{n}(f^{n}, f^{n})1 + δ ∫ f^{n}dξ + \frac{4e_{n}}{ln 21 + δ∫ f^{n}dξ} .

Budući da je e_{n}(f^{n}) nenegativan i da vrijedi

sup_{n} ∫_{0}^{∞} ∫ ∫ e_{n}(f^{n})dxdξds < ∞ ,

možemo pretpostaviti da e_{n}(f^{n}) konvergira slabo (u D′) k ograničenoj nenegativnoj mjeri μ. Lema 8 nam daje slabu konvergenciju preostala dva člana u L^{1}, pa prijelaskom na slabi limes dobijamo

\frac{Q_{±}(f, f)}{1 + δ ∫ fdξ} ⩽ \frac{2Q_{∓}(f, f)}{1 + δ ∫ fdξ} + \frac{4}{ln 2(1 + δ ∫ fdξ)}μ .

Gornja nejednakost će i dalje vrijediti ukoliko mjeru μ zamijenimo s njezinim apsolutno neprekidnim dijelom e ∈ L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}), pa promatrajući limes kad δ ↘ 0, slijedi da je

(47)  Q_{±}(f, f) ⩽ 2Q_{∓}(f, f) + E ,

pri čemu je E ∈ L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}). Relacije (46) i (47) nam daju

\frac{Q_{+}(f, f)}{1 + f} ∈ L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d}_{loc}) .

Za pokazati da je Q_{+}(f, f)(·, x, ξ) ∈ L^{1}([0, T]) za skoro svaki x i ξ, iskoristimo Lemu 9 na osnovu koje je za svaki t, funkcija T_{F}^{−1}Q_{+}(f, f) ∈ L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}) i F (t, ·) ∈ L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc}). Eksplicitno, vrijedi

∫_{0}^{t} Q_{+}(f, f)^{♯}e^{−(F^{♯}(t)−F^{♯}(s))}ds ∈ L^{1}(R^{d} × R^{d}_{loc})

za svaki t, pa zbog toga što je F^{♯} nenegativna, rastuća po varijabli t, slijedi da je Q_{+}(f, f)^{♯} ∈ L^{1}([0, T]) za skoro svaki x i ξ. Za Q_{−} isti zaklučak slijedi na osnovu (47).

Množeći relaciju (45) s e^{F} i djelovanjem s operatorom T^{−1}, koristeći transportni teorem (III.3) dobivamo

f^{♯}(t, x, ξ) = f_{0}(x, ξ) + ∫_{0}^{t} Q(f, f)(s, x, ξ)ds .

Time je pokazano da je f renormalizirano rješenje Boltzmannove jednadžbe.

Jedino nam preostaje pokazati da f zadovoljava ocjenu entropije (8). Da bismo to zaključili, iskoristimo dokaz Leme 8 iz kojeg slijedi da za svaki δ > 0 vrijedi

\begin{matrix}\frac{f^{n}f_{∗}^{n}}{1 + δ ∫ f^{n}dξ} & ⇀ \frac{ff_{∗}}{1 + δ ∫ fdξ} \\ \frac{f^{n′}f_{∗}^{n′}}{1 + δ ∫ f^{n}dξ} & ⇀ \frac{f′f′_{∗}}{1 + δ ∫ fdξ} \end{matrix}

u L^{1}([0, T] × R^{d} × R^{d} × R^{d} × S^{d−1}). Koristeći konveksnost funkcije

(x, y) → (x − y) ln \frac{x}{y}

na R^{+} × R^{+}, vidimo da je za svaki T > 0

∫_{0}^{T} ∫ ∫ \frac{e(f)}{1 + δ ∫ fdξ} dxdξdt ⩽ lim inf ∫_{0}^{T} ∫ ∫ \frac{e_{n}(f^{n})}{1 + δ ∫ f^{n}dξ} dxdξdt .

Ocjena entropije sada slijedi iz (38) i Lebesgueovog teorema o dominiranoj konvergenciji. Time je završen dokaz teorema 1.

Literatura

[AB] Nenad Antonić, Neven Balenović: Fourierova pretvorba, rukopis

[AV] Nenad Antonić, Marko Vrdoljak: L^{p} prostori, rukopis

[B] Haïm Brezis: Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1983.

[C] Carlo Cercignani: The Boltzmann equation and its applications, Springer-Verlag,

1988.

[CIP] Carlo Cercignani, Reinhard Illner, Mario Pulvirenti: The mathematical theory of

dilute gases, Springer-Verlag, 1994.

[D] Bernard Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations, Springer-Verlag,

Berlin, 1989.

[DL1] Ronald J. DiPerna, Pierre Louis Lions: On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability, Annals of Mathematics 130 (1989) 321-366

[DL2] Ronald DiPerna, Pierre Louis Lions: Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Inventiones Mathematicæ 98 (1989) 511–547

[DL3] Ronald J. DiPerna, Pierre Louis Lions: Global solutions of Boltzmann’s equation and the entropy inequality, Archive for Rational Mechanics and Analysis 114 (1991) 47–55

[H] Aleksandr Ja. Hinčin: Statistical mechanics, Dover, 1949.

[R] Xavier Saint Raymond: Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators, CRC Press, 1991.

[S] Jon Schnute: Entropy and kinetic theory for a confined gas, Canadian Journal of Mathematics 27 (1975) 1271–1315

[ST] Daniel W. Strook: A concise introduction to the theory of integration, Birkhäuser, 1994.

[T] Colin J. Thompson: Mathematical statistical mechanics, Princeton University Press, 1972.

[W] J. Wloka: Partial differential equations, Cambridge University Press, 1987.