Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno - matematički fakultet

Matematički odjel

Ana Vukelić, dipl. inž. mat.

Rubne i mješovite zadaće za kvazinewtonovske fluide

Magistarski rad

Voditelj: doc. dr. sc. Eduard Marušić-Paloka

Zagreb, 2000.

Sadržaj

1 Fizikalna interpretacija kvazinewtonovskog fluida 1 1.1 Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Krivulja toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Polimerne taline i otopine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Kvantitativni opis ponašanja toka . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Stacionarni kvazinewtonovski Stokesov sustav 5 2.1 Funkcionalni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Definicija i neka svojstva r-Stokesovog operatora . . . . . . . . 9 2.3 Egzistencija i jedinstvenost rješenja kvazinewtonovskog Stoke-

sovog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Stacionarni kvazinewtonovski Navier-Stokesov sustav 17 3.1 Definiranje problema i pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Egzistencija aproksimativnog rješenja . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Rezultati egzistencije vrlo slabog rješenja . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Dokaz jedinstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Navier-Stokesov sustav s viskoznošću koja ovisi o deformaciji 36 4.1 Linearni slučaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Jedan teorem o kompaktnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Klasični rezultati za inicijalni problem . . . . . . . . . . . . . 46 A Metoda monotonih operatora 53

A.1 Monotoni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.2 Stacionarni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.3 Pseudomonotoni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B Topološki stupanj i njegova primjena 58 B.1 Osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 B.2 Konstrukcija stupnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Predgovor

U ovom radu proučavamo čisti viskozni tok kvazinewtonovskog fluida s viskoznošću koja ovisi o deformaciji.

U prvom poglavlju opisujemo modele za kvazinewtonovske fluide. U inženjerskoj literaturi postoji niz modela do kojih se došlo na osnovu eksperimentalnih podataka. Kako matematička kompleksnost jednadžbi raste s brojem parametara, u inženjerskim proračunima najčešće se koriste jednostavni modeli zakona potencije i Carreauova zakona.

U drugom poglavlju proučavamo tok stacionarnog kvazinewtonovskog fluida opisanog Stokesovim jednadžbama s nelinearnom viskoznošću koja je dana zakonom potencije i Carreauovim zakonom. U prvoj točki definiramo funkcionalne prostore, dok u drugoj točki definiramo r-Stokesov operator za kvazinewtonovske fluide i dokazujemo neka svojstva iz kojih će slijediti monotonost tog nelinearnog operatora. I na kraju u zadnjoj točki dokazujemo egzistenciju i jedinstvenost rješenja kvazinewtonovskog Stokesovog problema tako da koristimo teoriju monotonih operatora.

U trećem poglavlju tok stacionarnog kvazinewtonovskog fluida je opisan Navier-Stokesovim sustavom s nelinearnom viskoznošću koja je dana zakonom potencije i Carreauovim zakonom. Koristeći specifičnu strukturu Navier-Stokesovog sustava dokazujemo egzistenciju barem jednog aproksimativnog rješenja. To je rješenje ograničeno u W^{1,r}(Ω)^{n} pa koristeći monotonost i kompaktnost možemo preći na limes za r ≥ 3n/(n + 2). Za 3n/(n + 2) > r > 2n/(n + 2) dobivamo egzistenciju barem jednog vrlo slabog rješenja. Štoviše, za r ≥ 3n/(n + 2) dokazujemo da sva slaba rješenja leže u kugli iz W_{0}^{1,r} sa polumjerom manjim od kritične vrijednosti.

U četvrtom poglavlju proučavamo evolucijski Navier-Stokesov sustav s viskoznošću koja je dana zakonom potencije i Carreauovim zakonom. U prvoj točki dokazujemo egzistenciju i regularnost rješenja linearnog slučaja koristeći Galjorkinovu proceduru, a u trećoj točki dokazujemo egzistenciju rješenja za nelinearni slučaj pod pretpostavkom da je r > 1 + 2n/(n + 2).

Zadnja dva poglavlja su dodatci u kojima iznosimo neke važne rezultate koji su korišteni u prethodnim poglavljima.

Na kraju koristim priliku da se najtoplije zahvalim doc.dr.sc. Eduardu Marušiću-Paloki koji mi je svesrdno pomogao da načinim ovu radnju.

Poglavlje 1

Fizikalna interpretacija kvazinewtonovskog fluida

1.1 Osnovne definicije

Čisti viskozni tok se definira kao proces u kome se sva upotrebljena mehanička energija u fluidu nepovratno difuzirala kao toplina preko molekularnog trenja. Ovaj proces je poznat kao difuzija viskozne energije. Čisti viskozni tok je u mnogim slučajevima dobra aproksimacija za razrjedene polimerne otopine, i često za koncentrirane otopine i taline gdje se otpor fluida ne mijenja veoma brzo; to je kada imamo približnu ravnotežu toka.

Viskoznost fluida mjeri opiranje fluida toku. Kvantitativno ona se definira u terminima dvaju osnovnih parametara: smičnog naprezanja τ i deformacije, tj. simetriziranog dijela gradijenta brzine e(u) = \frac{1}{2}(∇u + ∇u^{t}).

1.2 Krivulja toka

Kada većinu fluida podvrgnemo konstantnoj deformaciji (ili konstantnom smičnom naprezanju) pri konstantnoj temperaturi, odgovarajuća vrijednost smičnog naprezanja (ili deformacije) se može izmjeriti. Ta jednoznačna relacija izmedu smičnog naprezanja i deformacije pri konstatnoj temperaturi je poznata kao krivulja toka.

Newtonov zakon o viskoznosti kaže da je smično naprezanje proporcionalno deformaciji, a konstanta proporcionalnosti postaje viskoznost η:

τ = ηe(u).  (1.1)

Fluidi koji zadovoljavaju ovu pretpostavku su newtonovski fluidi. Ova pretpostavka dosta dobro opisuje neke nepolimerske fluide, kao što su plinovi, voda i toluol. Ovakav oblik ponašanja toka može se očekivati za male, relativno simetrične molekule, gdje su struktura i/ili orijentacija nepromjenljive sa intezitetom deformacije.

Aritmetički krivulja toka za newtonovski fluid je pravac kroz ishodište sa nagibom η (Slika 1.1). Kako τ i e(u) često variraju po jako širokoj skali, uobičajeno je preći na log-log koordinate. Ako logaritmiramo obje strane u jednadžbi (1.1) dobivamo:

log |τ| = log η + log |e(u)|.  (1.2)

Tada će logaritamska krivulja toka za newtonovske fluide biti pravac sa jedinstvenim nagibom (Slika 1.1).

Slika 1.1 Tipovi krivulja toka: (a) aritmetička; (b) logaritamska. N, newtonovski fluid; P, pseudo-plastični fluid; D, dilatorni fluid.

Nažalost, mnogo fluida ne zadovoljava Newtonovu pretpostavku. Generalno kvazinewtonovske fluide možemo podijeliti u dvije skupine: dilatorni fluidi (pri deformaciji nastaje zgušćivanje) i pseudo-plastični fluidi (pri deformaciji nastaje razrjedivanje). U log-log koordinatama, krivulja toka dilatornih fluida ima nagib veći od 1, a krivulja toka pseudo-plastičnih fluida ima nagib manji od 1 (Slika 1.1). Drugim riječima za dilatorne fluide viskoznost je rastuća funkcija deformacije, a za pseudo-plastične fluide viskoznost je padajuća funkcija deformacije. Dilatorno ponašanje javlja se kod nekih jako koncentriranih suspenzija kao što su glina, cement i mulj. Pseudo-plastično ponašanje je tipično za polimerne taline i otopine.

Kod kvazinewtonovskih fluida, kako τ nije direktno proporcionalno sa e(u), viskoznost nije konstantna. Jednadžbe koje nam daju η kao funkciju od e(u) (ili τ) predstavljaju reprezentaciju materijalne ravnoteže preko svojstva viskozne deformacije. Poznavanje relacije izmedu bilo koje dvije ili tri varijable (τ, η i e(u)) potpuno odreduje ponašanje ravnoteže viskozne deformacije, kao što je učinjeno i u (1.1).

1.3 Polimerne taline i otopine

Kada svojstva toka kod polimernih talina i otopina trebaju biti izračunati preko nekih divljih opsega deformiranja, logaritamska krivulja toka postaje kao u (Slici 1.2). Generalno možemo primjetiti da:

1. Pri niskoj deformaciji (ili smičnom naprezanju), područje ”nižeg newtonovskog toka” je doseglo takozvanu nenapregnutu viskoznost η_{0}.

2. U medu području, fluid je pseudo-plastičan.

3. Pri jako visokoj deformaciji, područje ”višeg newtonovskog toka”, postiže viskoznost η_{∞}.

Slika 1.2 Generalizirana svojsva toka za polimerne taline i otopine

Ovo ponašanje može biti racionalizirano u terminima molekularne strukture. Pri slabijoj deformaciji, slučajan efekt toplinske kretnje lanca segmenata svladava bilo kakvu tendenciju prema molekularnom rasporedivanju u polju deformacije. Molekule su te koje su u svojim najslučajnijm i najsloženijim stanjima zamršenosti, i imaju najveći otpor u toku. Kada se deformacija povećava , molekule postaju nezamršene i rasporedene u polju deformacije, reducirajući svoj otpor u medusobnom odmicanju. Kod stroge deformacije, oni će biti veoma lijepo kompletno razmršene i rasporedene, i dosegnuti će minimalni otpor u toku. To je ilustrirano u (Slici 1.2).

1.4 Kvantitativni opis ponašanja toka

Da bi opisali analitički kvazinewtonovski fluid, moramo matematički opisati vezu izmedu τ, η, i e(u), kao što je napravljeno u Newtonovom zakonu za newtonovske fluide.

Tradicionalni inženjerski model za čisti viskozni kvazinewtonovski tok je takozvani zakon potencije:

τ = μ|e(u)|^{r−2}e(u).  (1.3)

Ovo je dvo-parametarski model,a parametre μ i r zovemo konzistencija i indeks toka. U ovom slučaju, μ je najčešće konstanta viskoznosti.

U log-log koordinatama, zakon potencije opisuje pravac sa nagibom r − 1. Tako, za r = 2 dobivamo newtonovske fluide, za r ∈ (1, 2), fluidi su pseudoplastični, i za r > 2 fluid je dilatoran.

Ako izračunamo ovisnost viskoznosti o deformaciji za fluid koji ispunjava zakon potencije dobivamo:

η(e(u)) = μ|e(u)|^{r−2}.  (1.4)

Zakon potencije pogodan je za dilatorne fluide, ali prilično nepogodan za pseudo-plastične fluide jer potencija r − 2 u (1.4) postaje negativna. No, ovaj zakon dobro aproksimira stvarnu viskoznost fluida za neka područja vrijednosti deformacije i primjeren je za mnoge inženjerske potrebe.

Nedostatke zakona potencije ispravlja Carreauov zakon. To je model s četiri parametra kod kojeg je viskoznost kao funkcija deformacije dana s:

η(e(u)) = (η_{0} − η_{∞})(1 + λ|e(u)|^{2})^{(r−2)/2} + η_{∞},  (1.5)

gdje je η_{0} > η_{∞} ≥ 0, λ> 0 i 1 < r < ∞. Parametar λ je vremenska konstanta ili karakteristično vrijeme. Za λ|e(u)|^{2} ≪ 1, η → η_{0}, tj. fluid je newtonovski s viskoznošću η_{0} i za λ|e(u)|^{2} ≫ 1, η → η_{∞}, tj. fluid je newtonovski s viskoznošću η_{∞}. Kod večinu polimera rastaljenih zagrijavanjem, η_{∞} je nula, a u slučaju otopina, η_{∞} nije nula ali je njena vrijednost povezana sa viskoznosti otopala i bitno je manja od η_{0}.

Stacionarni kvazinewtonovski Stokesov sustav

2.1 Funkcionalni prostori

Neka je Ω omeden Lipschitzov skup u ℝ^{n} s granicom Γ. Definicija 2.1 Neka je 1 ≤ r < ∞. Za vektorsku funkciju w ∈ L^{r}(Ω)^{n} definiramo sljedeće norme:

∥w∥_{L^{r}(Ω)^{n}} = (∑_{i=1}^{n} ∥w_{i}∥_{L^{r}(Ω)}^{r})^{1/r} i

|w|_{L^{r}(Ω)^{n}} = (∫_{Ω}(∑_{i=1}^{n} |w_{i}|^{2})^{r/2})^{1/r}, |w|_{L^{∞}(Ω)^{n}} = sup_{i} |w_{i}|_{L^{∞}(Ω)^{n}}.

Prirodno, norme su ekvivalentne i vrijedi

\frac{1}{d_{n,r}} ∥w∥_{L^{r}(Ω)^{n}} ≤ |w|_{L^{r}(Ω)^{n}} ≤ c_{n,r}∥w∥_{L^{r}(Ω)^{n}},

sa

c_{n,r} = \{ \begin{matrix}1 & ako r ∈ [1, 2), \\ n^{(r−2)/2r} & ako r ≥ 2, \end{matrix} d_{n,r} = \{ \begin{matrix}n^{(2−r)/2r} & ako r ∈ [1, 2), \\ 1 & ako r ≥ 2. \end{matrix}

Analogne notacije možemo primjeniti i za tenzorske funkcije iz L^{r}(Ω)^{n^{2}}. Sada navodimo jedan tehnički rezultat:

Lema 2.1 (Kornova nejednakost) Za ϕ ∈ W_{0}^{1,r}(Ω), 1 ≤ r < +∞, vrijedi sljedeća nejednakost

|∇ϕ|_{L^{r}(Ω)} ≤ c_{r}|e(ϕ)|_{L^{r}(Ω)},

do na aditivnu konstantu c_{r} neovisnu o ϕ, a e(ϕ) = \frac{1}{2}(∇ϕ + ∇ϕ^{t}).

Dokaz leme se može naći u [5].

Sa c_{K,r} i c̃_{K,r} označavamo Kornove konstante u nejednakostima

|∇w|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ c̃_{K,r}|e(w)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}, ∥∇w∥_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ c_{K,r}|e(w)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}, (2.1)

za ∀w ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}.

Definicija 2.2 Za 1 ≤ r < ∞ definiramo Soboljevljev prostor

W^{1,r}(Ω)^{n} = \{u ∈ L^{r}(Ω)^{n}, \frac{∂u}{∂x_{j}} ∈ L^{r}(Ω)^{n}, j = 1, …, n\},

s normama

∥u∥_{W^{1,r}(Ω)^{n}} = ∥u∥_{L^{r}(Ω)^{n}} + ∑_{j=1}^{n} ∥\frac{∂u}{∂x_{j}} ∥_{L^{r}(Ω)^{n}} i

|u|_{W^{1,r}(Ω)^{n}} = |u|_{L^{r}(Ω)^{n}} + ∑_{j=1}^{n} |\frac{∂u}{∂x_{j}} |_{L^{r}(Ω)^{n}}.

Neka je D(Ω)^{n} prostor funkcija klase C^{∞} s kompaktnim nosačem sadržanim u Ω. Definiramo prostor

W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} = zatvarač od D(Ω)^{n} u W^{1,r}(Ω)^{n},

a W^{−1,r}(Ω) = (W_{0}^{1,r}(Ω))′.

Definicija 2.3 Definiramo prostore

V = {u ∈ D(Ω)^{n}, divu = 0},
V_{r} = zatvarač od V u W^{1,r}(Ω)^{n}.

Propozicija 2.1 Neka je Ω ⊆ ℝ^{n} otvoreni skup i f = {f_{1}, …, f_{n}}, f_{i} ∈ D′(Ω), i = 1, …, n. Tada je

f = ∇p

za neki p ∈ D′(Ω) ako i samo ako je

⟨f, ϕ⟩ = 0, ∀ϕ ∈ V.

Ako je Ω povezan onda je p jedinstven do na aditivnu konstantu.

Štoviše, ako je f ∈ W^{−1,r}(Ω)^{n} onda je p ∈ L^{r}(Ω).

Dokaz propozicije se može naći u [13].

Propozicija 2.2 (Poincaréova nejednakost) Neka je Ω ⊂ ℝ^{n} omedeno područje klase C^{1}, 1 ≤ r < ∞, W = {u ∈ W^{1,r}(Ω), γ_{0}(u) = 0 na Σ} gdje je Σ ⊂ ∂Ω skup pozitivne mjere. Tada postoji c > 0 tako da je

|u|_{L^{r}(Ω)} ≤ c|∇u|_{L^{r}(Ω)}, ∀u ∈ W.

Dokaz : Pretpostavimo suprotno:

(∀k ∈ ℕ)(∃u^{k} ∈ W) t.d. |u^{k}|_{L^{r}(Ω)} ≥ k|∇u^{k}|_{L^{r}(Ω)}.

Možemo još uzeti da je

|u^{k}|_{L^{r}(Ω)} = 1,  (2.2)

pa slijedi da je |∇u^{k}|_{L^{r}(Ω)} ≤ \frac{1}{k} → 0 kada k → ∞, pa \{u^{k}\} ima konvergentan podniz u L^{r}(Ω) i njega označimo sa {u^{k′}} i u^{k′} → u^{0} u L^{r}(Ω). Sa (2.2) dobivamo da je |u^{0}|_{L^{r}(Ω)} = 1.

Možemo zapisati

∫_{Ω} u^{k′} \frac{∂ϕ}{∂x_{i}} → ∫_{Ω} u^{0} \frac{∂ϕ}{∂x_{i}} , za ϕ ∈ D(Ω).

Kako \frac{1}{k}|\frac{∂ϕ}{∂x_{i}} |_{L^{r}(Ω)} → 0 slijedi da je \frac{∂u^{0}}{∂x_{i}} = 0, pa onda u^{0}(x) = C (s.s.).

Zbog u^{0} ∈ W vrijedi da je γ_{0}(u^{0}) = 0 na Σ pa slijedi da je u^{0} = 0.

To ne može biti jer je |u^{0}|_{L^{r}(Ω)} = 1, pa smo došli do kontradikcije.

Napomena 2.1 Konstanta c se može izabrati tako da bude

c = \frac{d}{r^{1/r}} ,

gdje je d =diam Ω.

Propozicija 2.3 (Nečasova nejednakost) Neka je Ω ⊆ ℝ^{n} otvoren, omeden skup s lokalno Lipschitzovim rubom. Ako distribucija p ∈ D′(Ω) ima sve prve derivacije \frac{∂p}{∂x_{i}} iz W^{−1,r}(Ω) onda je i p ∈ L^{r}(Ω) te vrijedi da postoji C(Ω) > 0 neovisna o p tako da

|p|_{L^{r}(Ω)|_{ℝ}} ≤ C(Ω)|∇p|_{W^{−1,r}(Ω)^{n}}.

Dokaz propozicije se može naći u [11].

Teorem 2.1 Neka je Ω omeden, otvoren Lipschitzov skup. Tada je

V_{r} = {u ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}, divu = 0}.

Dokaz : Definiramo prostor V^{∗} = {u ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}, divu = 0}. Prvo pokazujemo da je V_{r} ⊆ V^{∗}. Ako u ∈ V_{r}, tada postoji niz {u_{m}} ⊆ V, t.d. u_{m} → u u W^{1,r}(Ω)^{n}. Kako je divu_{m} = 0 dobivamo

0 = ⟨divu_{m}|ϕ⟩ = −⟨u_{m}|∇ϕ⟩ → −⟨u, ∇ϕ⟩ = ⟨divu|ϕ⟩,

pa slijedi da je divu = 0. Za γ_{0}(u_{m}) ∈ L(W^{1,r}(Ω)^{n}, W^{1−1/r,r}(Γ)^{n}) imamo da ako γ_{0}(u_{m}) = 0 slijedi da je γ_{0}(u) = 0 pa u ∈ V^{∗}. Sada nam ostaje još dokazati da je V^{∗} ⊆ V_{r}. Trebamo pokazati da je V^{∗} zatvoreni potprostor od W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}. Ako je {u_{m}} C-niz u V^{∗}, slijedi da je on konvergentan u W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} i limes mu je i u W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} i u V^{∗}. Kako u_{m} ∈ V^{∗} slijedi da je divu_{m} = 0 pa onda i divu = 0. Neka je L neprekidni linearni funkcional na V^{∗}. On se može proširiti do linearnog funkcionala na W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}. Tada je

L = (l_{1}, …, l_{n}), za l_{i} ∈ W^{−1,r}(Ω) i ⟨L|v⟩= ∑_{i=1}^{n}⟨l_{i}|v_{i}⟩ za v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}.

Ako je ⟨L|v⟩=0 za ∀v ∈ V_{r} prema Propoziciji 2.1 slijedi da postoji skalarna funkcija p ∈ L^{r}(Ω), t.d. je l_{i} = \frac{∂p}{∂x_{i}}. Tada za w ∈ V^{∗} imamo

⟨L|w⟩= ∑_{i=1}^{n}⟨\frac{∂p}{∂x_{i}} |w_{i}⟩= − ∑_{i=1}^{n}⟨p|\frac{∂w_{i}}{∂x_{i}} ⟩= − ⟨p|divw⟩ = 0,

pa slijedi da je V_{r} gust u V^{∗}, ali kako su V^{∗} i V_{r} zatvoreni skupovi slijedi da je V_{r} = V^{∗}. Generalizacija rezultata ove točke za slučaj prostora W^{m,r}, m > 1, može se naći u [1].

2.2 Definicija i neka svojstva r-Stokesovog operatora

Definicija 2.4 r-Stokesov operator A : V_{r} → Vr^{′} definiramo s

A(u) = −div{η(e(u))e(u)},

gdje je η(e(u)) dano jednadžbom (1.4) za zakon potencije i jednadžbom (1.5) za Carreauov zakon.

Mi ćemo proučavati slučaj kada je η_{∞} = 0.

Neka je f_{r} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, r > 1, funkcija definirana s

f_{r}(x) = ψ(δ + κ|x|^{2})^{\frac{r−2}{2}} x,

pa je sada operator A definiran s

A(u) = −div{f_{r}(e(u)},  (2.3)

gdje je ψ = μ, δ = 0, κ = 1 za zakon potencije, a ψ = η_{0}, δ = 1, κ = λ za Carreauov zakon.

Imamo sljedeće ocjene za funkciju f_{r}:

Lema 2.2 Neka su x, h ∈ ℝ^{n}. Ako je r > 2 tada je

C_{δ,r,n}^{1}(δ + |x|^{r−2} + |x + h|^{r−2})|h|^{2} ≤ (f_{r}(x + h) − f_{r}(x), h),  (2.4)
|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)| ≤ C_{δ,r,n}^{2}(δ + |x|^{r−2} + |x + h|^{r−2})|h|.  (2.5)

Za r > 1 je

C_{δ,n,r}^{3}|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)||h| ≤ (f_{r}(x + h) − f_{r}(x), h),  (2.6)

a ako je 1 < r < 2 imamo ocjene

C_{δ,r,n}^{4} \frac{|h|^{2}}{(δ + |x|^{2−r} + |x + h|^{2−r})} ≤ (f_{r}(x + h) − f_{r}(x), h),  (2.7)

|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)| ≤ C_{δ,r,n}^{5} \frac{|h|}{(δ + |x|^{2−r} + |x + h|^{2−r})}.  (2.8)

gdje su C_{δ,r,n}^{1}, C_{δ,r,n}^{2}, C_{δ,r,n}^{3}, C_{δ,r,n}^{4} i C_{δ,r,n}^{5} strogo pozitivne konstante koje ne ovise o x i h.

Dokaz : Prvo ćemo promatrati slučaj kada je δ = 0. Stavimo da je α = r −2 i f_{r}(x) = |x|^{α}x. Za r > 2 i f_{r} ∈ C^{1}(ℝ^{n}) imamo

\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x) = (αx_{i}x_{j} + |x|^{2}δ_{ij})|x|^{α−2}.

Za k ∈ ℝ^{n} imamo Taylorovu formulu

(f(x + h) − f(x), k) = ∑_{i=1}^{n}(f_{i}(x + h) − f_{i}(x))k_{i}

= ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ∫_{0}^{1} \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x + th)h_{j}k_{i}dt.

Stavimo da je x^{t} = x + th pa imamo

(f(x + h) − f(x), k) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ∫_{0}^{1}(αx_{i}^{t}x_{j}^{t} + |x^{t}|^{2}δ_{ij})|x^{t}|^{α−2}h_{j}k_{i}dt

= ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}h_{i}k_{i}dt + ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ∫_{0}^{1} αx_{i}^{t}x_{j}^{t}|x^{t}|^{α−2}h_{j}k_{i}dt

= (h, k) ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt + ∫_{0}^{1} α|x^{t}|^{α−2}(x^{t}, h)(x^{t}, k)dt.  (2.9)

Za k = h dobivamo

(f(x + h) − f(x), h) ≥ |h|^{2} ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt.  (2.10)

Ostaje nam još ocjeniti izraz ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt. Za β > 0 postoje C_{1,n,β} > 0, C_{2,n,β} > 0 tako da je

C_{1,n,β}(∑_{i=1}^{n} |x_{i}|)^{β} ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{β} ≤ C_{2,n,β}(∑_{i=1}^{n} |x_{i}|)^{β},

pa imamo

∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt = ∫_{0}^{1}(∑_{i=1}^{n}(x_{i} + th_{i})^{2})^{α/2}dt ≥ C_{2,n, \frac{α}{2}}^{−1} ∫_{0}^{1} ∑_{i=1}^{n} |x_{i} + th_{i}|^{α}dt

≥ C_{2,n, \frac{α}{2}}^{−1} ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{α} ∫_{0}^{1} |1 + t\frac{h_{i}}{x_{i}} |^{α}dt

≥ C_{2,n, \frac{α}{2}}^{−1} C_{1,n, \frac{α}{2}} |x|^{α} inf_{λ∈ℝ}∫_{0}^{1} |1 + tλ|^{α}dt,

gdje je funkcija ϕ : ℝ → ℝ : λ → ∫_{0}^{1} |1+tλ|^{α}dt neprekidna, strogo pozitivna, i ide u +∞ kada |λ| ide u +∞. Pa tako kako su konstante C_{r,n} strogo pozitivne imamo

∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt ≥ C_{2,n, \frac{α}{2}}^{−1} C_{1,n, \frac{α}{2}} C_{r,n}|x|^{α} ≥ \frac{1}{2}C_{0,r,n}^{1}|x|^{α},  (2.11)

pa iz (2.10) i (2.11) dobivamo nejednakost (2.4).

Iz (2.9) dobivamo da vrijedi

|(f(x + h) − f(x), k| ≤ |h||k|(1 + α) ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt,

pa

|f(x + h) − f(x)| ≤ (1 + α)|h| ∫_{0}^{1} |x^{t}|^{α}dt.

Kako je |x + th| ≤ |x| + |h| ≤ |x| + | − x + x + h| ≤ 2|x| + |x + h| dobivamo

|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)| ≤ 2^{α}(1 + α)(|x|^{r−2} + |x + h|^{r−2})|h|,

pa smo dokazali nejednakost (2.5).

Sa (2.4) i (2.5) je dokazana nejednakost (2.6) za slučaj kada je r > 2.

Sada nam još ostaje pokazati da je (2.6) ispunjeno za 1 < r < 2. Kako je 1 < r < 2 tada je r′ = \frac{r}{r−1} > 2 i f_{r} ∘ fr^{′} = fr^{′} ∘ f_{r} = Id. Pa iz (2.6) za x, h ∈ ℝ^{n} imamo

C_{0,r′,n}^{3}|f_{r′}(f_{r}(x + h)) − f_{r′}(f_{r}(x))||f_{r}(x + h) − f_{r}(x)|
≤ (f_{r′}(f_{r}(x + h)) − f_{r′}(f_{r}(x)), f_{r}(x + h) − f_{r}(x))
≤ (h, f_{r}(x + h) − f_{r}(x)),

pa smo dokazali nejednakost (2.6) za 1 < r < 2.

Iz (2.4) dobivamo

C_{0,r′,n}^{1}(|f_{r}(x)|^{r′−2} + |f_{r}(x + h)|^{r′−2})|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)|^{2}
≤ (f_{r′}(f_{r}(x + h)) − f_{r′}(f_{r}(x)), f_{r}(x + h) − f_{r}(x)),

pa kako za x ∈ ℝ^{n} vrijedi da je |f_{r}(x)|^{r′−2} = |x|^{(r−1)(r′−2)} = |x|^{2−r} dobivamo

C_{0,r′,n}^{1}(|x|^{2−r} + |x + h|^{2−r})|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)|^{2}

≤ (f_{r′}(f_{r}(x + h)) − f_{r′}(f_{r}(x)), f_{r}(x + h) − f_{r}(x))
≤ (h, f_{r}(x + h) − f_{r}(x))
≤ |h||f_{r}(x + h) − f_{r}(x)|,

pa smo dokazali nejednakost (2.8). Analogno iz nejednakosti (2.5) dobivamo

|h| ≤ C_{0,r′,n}^{2}(|f_{r}(x)|^{r′−2} + |f_{r}(x + h)|^{r′−2})|f_{r}(x + h) − f_{r}(x)|,

pa smo dokazali (2.7) koristeći nejednakost (2.6). Sada nam još ostaje pokazati slučaj kada je δ = 1. Definiramo kanonsku injekciju i : ℝ^{n} → ℝ^{n+1} : x → i(x) = (x, 0). Element v iz ℝ^{n+1} definiramo sa v = (1, …, 1, 0). Definiramo funkciju g_{r} : ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1} : x → |x|^{α}x. Za x, y ∈ ℝ^{n} imamo

f_{r}(x) = (1 + |x|^{2})^{\frac{r−2}{2}} x = (|i(x) + v|^{2})^{\frac{r−2}{2}} x = |x + v|^{α}x,

pa ako to isto napravimo i za y dobivamo

(f_{r}(y) − f_{r}(x), y − x) = (|y + v|^{α}y − |x + v|^{α}x, y − x)
= (|y + v|^{α}(y + v) − |x + v|^{α}(x + v), (y + v) − (x + v))
= (g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v), (y + v) − (x + v)).  (2.12)

Primjenom nejednakosti (2.4) i (2.7) na funkciju g_{r} dobivamo

(f_{r}(y) − f_{r}(x), y − x) = (g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v), y − x)

≥ \{ \begin{matrix}C_{0,r,n+1}^{1}(|y + v|^{α} + |x + v|^{α})|y − x|^{2} & za α > 0 \\ C_{0,r,n+1}^{4} \frac{|y−x|^{2}}{(|y+v|^{−α}+|x+v|^{−α})} & za α < 0 \end{matrix} ,

pa smo dokazali (2.4) i (2.7) za f_{r}. Sada imamo

|g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v)|^{2} = ||y + v|^{α}(y + v) − |x + v|^{α}(x + v)|^{2}
= ||y + v|^{α}y − |x + v|^{α}x|^{2} + |v|^{2}||y + v|^{α} − |x + v|^{α}|^{2}
≥ ||y + v|^{α}y − |x + v|^{α}x|^{2}
≥ |f_{r}(y) − f_{r}(x)|^{2}.  (2.13)

Sada iz (2.13), primjenom nejednakosti (2.6) na funkciju g_{r} i koristeći jednakost (2.12) dobivamo

C_{0,r,n+1}^{3}|f_{r}(y) − f_{r}(x)||y − x|
≤ C_{0,r,n+1}^{3}|g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v)||(y + v) − (x + v)|
≤ (g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v), (y + v) − (x + v))
≤ (f_{r}(y) − f_{r}(x), y − x),

pa smo dokazali nejednakost (2.6) za f_{r}.

Koristeći nejednakost (2.13) i primjenom nejednakosti (2.5) i (2.8) na funkciju g_{r} dobivamo

|f_{r}(y) − f_{r}(x)| ≤ |g_{r}(y + v) − g_{r}(x + v)|

≤ \{ \begin{matrix}C_{0,r,n+1}^{2}|y − x|(|y + v|^{α} + |x + v|^{α}) & za α > 0 \\ C_{0,r,n+1}^{5} \frac{|y−x|}{(|y+v|^{−α}+|x+v|^{−α})} & za α < 0 \end{matrix} ,

pa smo dokazali nejednakosti (2.5) i (2.8) za f_{r}.

Primjenom ove leme dolazimo do Propozicije 2.4:

Propozicija 2.4 Neka je Ω otvoren i ograničen podskup od ℝ^{n}. Postoje strogo pozitivne konstante C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} i C_{5} takve da za sve u, v, w ∈ L^{r}(Ω) vrijede ocjene:

za r > 2

C_{1} ∫_{Ω}(δ + |u|^{r−2} + |v|^{r−2})|u − v|^{2} ≤ ∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), v − u),  (2.14)
∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), w) ≤ C_{2}[∫_{Ω}(δ + |u|^{r−2} + |v|^{r−2})|v − u|^{2}]^{1/2}
×(δ + |u|L^{r}(Ω)^{\frac{r−2}{2}} + |v|L^{r}(Ω)^{\frac{r−2}{2}})|w|_{L^{r}(Ω)},  (2.15)

za r > 1

C_{3} ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)||v − u| ≤ ∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), v − u),  (2.16)

za 1 < r < 2

C_{4} \frac{|v − u|_{L^{r}(Ω)}^{2}}{δ + |u|_{L^{r}(Ω)}^{2−r} + |v|_{L^{r}(Ω)}^{2−r}} ≤ ∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), v − u),  (2.17)

∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), w) ≤ C_{5}|\frac{|v − u|}{δ + |u| + |v|}|L^{∞}(Ω)^{\frac{2−r}{r}}

×[∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)||v − u|]^{\frac{r−1}{r}} |w|_{L^{r}(Ω)}.  (2.18)

Dokaz : Integracijom nejednakosti (2.4) i (2.6) stavljajući x = u i h = v − u dobivamo (2.14) i (2.16). Za u, v, w ∈ L^{r}(Ω), r > 2, korištenjem ocjene (2.5) dobivamo

∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), w) ≤ ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)||w|
≤ C ∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})|v − u||w|
≤ C ∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})^{1/2}|v − u|(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})^{1/2}|w|
≤ C[∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})|v − u|^{2}]^{1/2}
×[∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})|w|^{2}]^{1/2}.  (2.19)

Neka je γ′ = \frac{r}{2} > 1, pa je onda γ = \frac{γ′}{γ′−1} = \frac{r}{r−2}. Primjenom Hölderove nejednakosti dobivamo

∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})|w|^{2}

≤ [∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})^{γ}]^{\frac{1}{γ}} [∫_{Ω} |w|^{2γ′}]^{\frac{1}{γ′}}
≤ C[∫_{Ω}(δ + |v|^{r−2} + |u|^{r−2})^{\frac{r}{r−2}} ]^{\frac{r−2}{r}} [∫_{Ω} |w|^{r}]^{\frac{2}{r}}
≤ C(δ + |v|_{L^{r}(Ω)}^{r−2} + |u|_{L^{r}(Ω)}^{r−2})|w|_{L^{r}(Ω)}^{2},  (2.20)

pa dobivamo ocjenu (2.15). Za 1 < r < 2 iz ocjene (2.8) sa 0 < θ < 1 dobivamo

∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), w) ≤ ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)||w|

≤ ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)|^{θ}|f_{r}(v) − f_{r}(u)|^{1−θ}|w|

≤ C ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)|^{θ}[\frac{|v − u|}{δ + |u|^{2−r} + |v|^{2−r}}]^{1−θ}|w|

≤ C ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)|^{θ}|v − u|^{(r−1)(1−θ)}

×[\frac{|v − u|^{2−r}}{δ + |u|^{2−r} + |v|^{2−r}}]^{1−θ}|w|.  (2.21)

Izaberimo θ tako da je θ = (r − 1)(1 − θ) ⇔ θ = \frac{r−1}{r} = \frac{1}{r′} < 1, pa dobivamo

∫_{Ω}(f_{r}(v) − f_{r}(u), w)

≤ C ∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)|^{\frac{1}{r′}} |v − u|^{\frac{1}{r′}} [\frac{|v − u|}{δ + |u| + |v|}]^{\frac{2−r}{r}} |w|

≤ C|\frac{|v − u|}{δ + |u| + |v|}|L^{∞}(Ω)^{\frac{2−r}{r}}[∫_{Ω} |f_{r}(v) − f_{r}(u)||v − u|]^{\frac{1}{r′}} [∫_{Ω} |w|^{r}]^{\frac{1}{r}} .  (2.22)

S time smo dokazali jednakost (2.18).

Konstante C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} i C_{5} su neovisne o r i n.

2.3 Egzistencija i jedinstvenost rješenja kvazinewtonovskog Stokesovog sustava

Neka je Ω omeden Lipschitzov skup u ℝ^{n} s granicom Γ. Stacionarni kvazinewtonovski Stokesov sustav je sada oblika

A(u) + ∇p = f u Ω,  (2.23)
divu = 0 u Ω,  (2.24)
u = 0 na Γ,  (2.25)

gdje je u = u(x) = (u_{1}(x), …, u_{n}(x)) (za x ∈ Ω) brzina, p = p(x) tlak, a operator A je definiran sa (2.3).

Definicija 2.5 Kažemo da je u ∈ V_{r} slabo rješenje problema (2.23)-(2.25) ako

∫_{Ω} f_{r}(e(u)) · e(ϕ) = ∫_{Ω} fϕ, ∀ϕ ∈ V_{r}.

Teorem 2.2 Pretpostavimo da f ∈ Vr^{′}. Tada problem (2.23)-(2.25) ima jedinstveno slabo rješenje u ∈ V_{r}.

Dokaz : Neka je prostor V_{r} opskrbljen normom

|ϕ|_{V_{r}} = |e(ϕ)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Izravnom primjenom Propozicije 2.4, A je neprekidan operator s V_{r} u Vr^{′} i vrijedi: u slučaju kad je 1 < r < 2 postoji konstanta γ_{1} > 0 takva da je

|A(u) − A(v)|_{V′_{r}} ≤ γ_{1}|u − v|_{V_{r}}^{r−1},

u slučaju kad je r ≥ 2 postoji konstanta γ_{2} > 0 takva da je

|A(u) − A(v)|_{V′_{r}} ≤ γ_{2}|u − v|_{V_{r}}(δ + |u|_{V_{r}}^{r−2} + |v|_{V_{r}}^{r−2}), ∀u, v ∈ V_{r}.

Uočimo da iz ovih ocjena slijedi i uvjet (iii) iz Teorema A.1 pa zaključujemo da homogeni Dirichletov problem za stacionarni kvazinewtonovski Stokesov sustav ima slabo rješenje u ∈ V_{r}. Stroga monotonost operatora A slijedi iz sljedećih ocjena (do kojih takoder dolazimo primjenom Propozicije 2.4): u slučaju kad je 1 < r < 2 postoji konstanta δ_{1} > 0 takva da je

⟨A(u) − A(v), u − v⟩_{V_{r},V′_{r}} ≥ δ_{1} \frac{|u − v|_{V_{r}}^{2}}{δ + |u|_{V_{r}}^{2−r} + |v|_{V_{r}}^{2−r}} ,

u slučaju kad je r ≥ 2 postoji konstanta δ_{2} > 0 takva da je

⟨A(u) − A(v), u − v⟩_{V_{r},V′_{r}} ≥ δ_{2}|u − v|_{V_{r}}^{r}, ∀u, v ∈ V_{r}.

Sve pretpostavke Teorema A.2 su zadovoljene pa zaključujemo da homogeni Dirichletov problem za stacionarni kvazinewtonovski Stokesov sustav sa zakonom potencije ima jedinstveno slabo rješenje u ∈ V_{r}.

Napomena 2.2 Rezultat iz Teorema 2.2 se može proširiti i na slučaj nehomogenih rubnih uvjeta

u = g na Γ,

gdje je

∫_{Γ} g · ν = 0.

Pretpostavimo da g ∈ W^{2− \frac{1}{r} ,r}(Γ)^{n} tako da je divg = 0. Kako je W^{2− \frac{1}{r} ,r}(Γ)^{n} = γ_{0}(W^{2,r}(Ω)^{n})(γ_{0} je operator traga) postoji h ∈ W^{2,r}(Ω)^{n} t.d. je h|_{Γ} = g. Sada stavimo v = u − h i dobivamo jednadžbu

A(v + h) + ∇p = f, v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω),

tj. promatramo problem analogan problemu (2.23)-(2.25) tako da operator A zamjenjujemo operatorom

A(v) = A(v + h),

gdje je h fiksirana funkcija iz W^{2,r}(Ω)^{n}.

Stacionarni kvazinewtonovski Navier-Stokesov sustav

Ovo poglavlje donosi presjek rezultata iz rada [2].

3.1 Definiranje problema i pretpostavke

Promatramo tok nestlačivog kvazinewtonovskog fluida kroz zadano omedeno područje Ω ∈ ℝ^{n}. Tok je uzrokovan stacionarnim ubrizgavanjem fluida kroz granicu Γ od Ω.

Sa viskoznostću η danu kao u (1.4) ili (1.5) odgovarajući nestlačiv Navier-Stokesov sustav je dan sa

−div(η(e(u))e(u)) + (u∇)u + ∇p = 0 u Ω,
divu = 0 u Ω,  (3.1)
u = g na Γ,

gdje je u brzina, p tlak, a g zadana brzina ubrizgavanja. (U slučaju Carreauvog zakona proučavamo slučaj kada je η_{∞} = 0).

Počinjemo sa pretpostavkama za skup Ω i g:

Ω je omeden podskup od ℝ^{n} klase C^{2} (n = 2 ili 3).

Neka je g ∈ W^{2−1/α,α}(Γ)^{n}, α > n i

∫_{Γ} g · νdσ = 0.  (3.2)

Kao i u točki 2.3 postoji h ∈ W^{2,α}(Ω)^{n} t.d. je h|_{Γ} = g. Tada zbog (3.2) i Stokesove formule vrijedi da je

∫_{Ω} divh dx = 0,

i izaberimo h tako da bude solenoidna vektorska funkcija. Nadalje, norma u W^{2−1/α,α}(Γ)^{n} je definirana sa

∥ϕ∥_{W^{2−1/α,α}(Γ)^{n}} = inf_{γ_{0}(u)=ϕ} ∥u∥_{W^{2,α}(Ω)^{n}},

pa imamo da je

∥h∥_{W^{2,α}(Ω)^{n}} ≤ c_{0}(r, Ω)∥g∥_{W^{2−1/α,α}(Γ)^{n}}.

Neka je (vidi točku 2.1) V_{r} = {u ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n},divu = 0}.

Ako definiramo

A(v) = −div{f_{r}(e(v + h))}, za v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n},

gdje je f_{r} funkcija definirana u točki 2.2, tada je A strogo monoton operator.

Ako rezultat iz Propozicije 2.4 napišemo u terminima gore definiranog operatora A dobivamo nejednakost

∀v, w ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n},
⟨A(v) − A(w), v − w⟩_{W^{−1,r′} (Ω)^{n},W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}} ≥

≥ C_{4} \frac{|e(v) − e(w)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{δ + |e(v + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r} + |e(w + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}} .  (3.3)

Definicija 3.1 b(u, v, w) = ∑_{i=1}^{n} ∫_{Ω} u_{i}(\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}})w_{j}dx, j = 1, …, n.

Propozicija 3.1 Forma b je dobro definirana, trilinearna i neprekidna na (W_{0}^{1,r}(Ω)^{n})^{3} za svaki r ≥ \frac{3n}{n+2}.

Dokaz : Ako u, v, w ∈ V_{r}, iz Soboljevljevog teorema o ulaganju dobivamo

u_{i} ∈ L^{nr/(n−r)}(Ω), \frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} ∈ L^{r}(Ω), w_{j} ∈ L^{nr/n−r}(Ω), 1 ≤ i, j, ≤ n.

Zbog Hölderove nejednakosti u_{i}(\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}})w_{j} ∈ L^{1}(Ω) jer je \frac{2(n−r)}{nr} + \frac{1}{r} = \frac{3n−2r}{nr} ≤ 1, pa

| ∫_{Ω} u_{i}(\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}})w_{j}dx| ≤ |u_{i}|_{L^{nr/(n−r)}(Ω)}|\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} |_{L^{r}(Ω)}|w_{j}|_{L^{nr/(n−r)}(Ω)}.  (3.4)

Nadalje za b(u, v, w) vrijedi

|b(u, v, w)| ≤ c(r)|u|_{W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}}|v|_{W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}}|w|_{W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}}.  (3.5)

Forma b je očito trilinearna, a (3.5) nam garantira njenu neprekidnost. Drugo osnovno svojstvo forme b je:

Propozicija 3.2 Neka je r ≥ \frac{3n}{n+2}. Vrijedi da je

b(u, v, v) = 0,  ∀u ∈ V_{r}, v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n},  (3.6)
b(u, v, w) = −b(u, w, v),  ∀u ∈ V_{r}, v, w ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}.  (3.7)

Dokaz : Prvo dokazujemo svojstvo (3.6). Za u ∈ V i v ∈ D(Ω)^{n} imamo

b(u, v, v) = ∫_{Ω} u_{i}(\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}})v_{j}dx = ∫_{Ω} u_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} \frac{|v|^{2}}{2} dx =

−\frac{1}{2} ∫_{Ω} \frac{∂u_{i}}{∂x_{i}} |v|^{2}dx = −\frac{1}{2} ∫_{Ω} divu|v|^{2}dx = 0.

Svojstvo (3.7) dokazujemo primjenom svojstva (3.6) kada umjesto v stavimo v + w, tj.

0 = b(u, v + w, v + w) = b(u, v, v) + b(u, v, w) + b(u, w, v) + b(u, w, w) =

= b(u, v, w) + b(u, w, v),

pa slijedi da je

b(u, v, w) = −b(u, w, v).

Sada definiramo nelinearni operator B na W^{1,r}(Ω)^{n} sa

⟨B(w), ϕ⟩_{D′(Ω)^{n},D(Ω)^{n}} = − ∫_{Ω} w ⊗ w · ∇ϕ dx, ∀w ∈ W^{1,r}(Ω)^{n}, ∀ϕ ∈ D(Ω)^{n}.

(3.8)

Očito je da je za r ≥ \frac{2n}{n+1}, B ograničeni neprekidni operator iz W^{1,r}(Ω)^{n} u L^{nr/(2n−r)}(Ω)^{n} i B(w) = (w∇)w s.s. u Ω.

Za \frac{2n}{n+2} < r < \frac{2n}{n+1} imamo ulaganje V_{r} ↪ L^{nr/(2n−r)}(Ω)^{n} ↪ L^{2}(Ω)^{n} i B je neprekidni operator iz W^{1,r}(Ω)^{n} u W^{−1,nr/(2n−r)}(Ω)^{n}.

Sada ćemo definirati vrlo slabo rješenje za problem (3.1).

Definicija 3.2 Neka je 2 ≥ r > 2n/(n + 2). Tada u ∈ h + V_{r} je vrlo slabo rješenje za problem (3.1) ako

u = g u W^{1−1/r,r}(Γ)^{n},  (3.9)
B(u) ∈ Vr^{′},  (3.10)
∫_{Ω} f_{r}(e(ϕ + h)) · e(ϕ + h − u) + ⟨B(u), ϕ⟩_{V′_{r},V_{r}} − ⟨B(h), u − h⟩_{V′_{r},V_{r}}
− ∫_{Ω}(u − h) ⊗ (u − h) · ∇h ≥ 0,  ∀ϕ ∈ V_{r}.  (3.11)

Vrlo slabo rješenje od (3.1) je slabo rješenje ako zadovoljava

∫_{Ω} f_{r}(e(u)) · e(ϕ) + ⟨B(u), ϕ⟩_{V′_{r},V_{r}} = 0,  ∀ϕ ∈ V_{r}.  (3.12)

Neka označimo d = diam(Ω) = sup_{x,y∈Ω} |x − y|, pa možemo definirati konstante u dvodimenzionalnom slučaju. Imamo

Λ_{2,r}^{2} = 2^{1/r+1}c_{K,r}^{2}(d^{r−1}r^{1/r})^{2/r}∥∇h∥_{L^{r(r−1)}(Ω)^{4}},  Λ_{2,r}^{1} = 1 + \frac{Λ_{2,r}^{2}}{2} , (3.13)

β_{2,r}^{1} = c_{K,r}^{2}(\frac{d}{2r^{1/r}})^{2}|h|_{L^{∞}(Ω)^{2}}^{2}|∇h|_{L^{r(r−1)}(Ω)^{4}}^{2},

β_{2,r}^{2} = \frac{1}{2} ∫_{Γ} |g|^{2}g · νdσ + 2^{1/r+1}∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}^{2}∥∇h∥_{L^{r(r−1)}(Ω)^{4}}.  (3.14)

U trodimenzionalnom slučaju treba nam najbolja Soboljevljeva konstanta ulaganja

c(3, r) = \frac{1}{\sqrt{(}3π)}(\frac{r − 1}{3 − r})^{1−1/r}\{\frac{Γ(5/2)Γ(3)}{Γ(3/r)Γ(4 − 3/r)}\}^{1/3},  (3.15)

gdje je Γ(x) gama-funkcija definirana sa

Γ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1}dt, za x > 0.

Konstante Λ_{3,r}^{i}, β_{3,r}^{i}, i = 1 ili 2, su dane sa

Λ_{3,r}^{2} = 2c_{K,r}^{2}c^{2}(3, r)3^{(5r−6)/3r}|∇h|_{L^{3r/(5r−6)}(Ω)^{9}},  Λ_{3,r}^{1} = 1 + \frac{Λ_{3,r}^{2}}{2} , (3.16)

β_{3,r}^{1} = c_{K,r}^{2}(\frac{d}{2r^{1/r}})^{2}|h|_{L^{∞}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{r(r−1)}(Ω)^{9}}^{2},

β_{3,r}^{2} = \frac{1}{2} ∫_{Γ} |g|^{2}g · νdσ + 2 · 3^{(5r−6)/3r}∥h∥_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{3r/(5r−6)}(Ω)^{9}}. (3.17)

Konačno možemo definirati konstante koje koristimo u uvjetima rješenja. Imamo

θ_{n,r}^{i} = (2 − r)(\frac{4Λ_{n,r}^{i}}{(ρ − \frac{1}{4})^{2/r}r})^{r/(r−2)},  i = 1 ili 2,  (3.18)
χ_{n,r} = \{ρ − \frac{1}{4} + \frac{1}{r4^{1−r}} (\frac{r}{r − 1})^{r−1}\}|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} + δ|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}. (3.19)

3.2 Egzistencija aproksimativnog rješenja

Da bi ustanovili egzistenciju barem jednog rješenja za problem (3.1) definiramo Galjorkinovu aproksimaciju. Neka je {w_{i}} ortogonalna baza za V_{2} i ortonormirana za H_{2} = L^{2}(Ω)^{n} ∩ {w : divw = 0} definirana sa

−Δw_{i} + ∇π_{i} = λ_{i}w_{i},  w_{i} ∈ V_{2}.  (3.20)

Definiramo V_{r}^{m} kao prostor generiran sa {w_{1}, …, w_{m}} pa imamo sljedeću definiciju:

Definicija 3.3 Neka je 2 ≥ r > 2n/(n + 2). Tada u_{m} ∈ h + V_{r}^{m} je aproksimativno rješenje od (3.1) ako

u_{m} = h + ∑_{i=1}^{m} ξ_{i,m}w_{i},  ξ_{i,m} ∈ ℝ,  (3.21)

∫_{Ω} f_{r}(e(u_{m})) · e(w_{i}) + ∫_{Ω}(u_{m}∇)u_{m} · w_{i} = 0,  ∀i ∈ {1, …, m}. (3.22)

Prirodno, naš prvi korak je ustanoviti rješivost sustava nelinearnih jednadžbi (3.22) za ξ_{i,m}, i = 1, …, m. Prvo moramo ocjeniti dijelove u (3.22).

Lema 3.1 Neka je v_{m} = ∑_{i=1}^{m} ξ_{i,m}w_{i} tako da je |e(v_{m} +h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≥ 1. Tada imamo

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m})
≥ (ρ − ϵ_{0})2^{1−r}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} − (ρ − ϵ_{0} + \frac{ϵ_{0}^{1−r}}{r} (\frac{r}{r − 1})^{r−1})|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} (3.23)
−δ|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}, ∀ϵ_{0} ∈ (0, 1).

gdje je ρ = C_{4} za zakon potencije, ρ = \frac{C_{4}}{2} za Carreauov zakon, a C_{4} konstanta iz Propozicije 2.4.

Dokaz :

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m})
= − ∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(h) + ∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m} + h).

Koristeći Propoziciju 2.4 i Youngovu nejednakost dobivamo

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(h)

≤ (δ + |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r−1})|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ ϵ_{0}|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r}
+C_{ϵ_{0},r/r−1}|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} + δ|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}},

∀ϵ_{0} ∈ (0, 1) sa

C_{ϵ_{0},r/r−1} = \frac{ϵ_{0}^{1−r}}{r} (\frac{r}{r − 1})^{r−1}.

S druge strane ponovno koristeći Propoziciju 2.4 imamo

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m} + h) ≥ C_{4} \frac{|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{δ + |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}} .  (3.24)

Ako je δ = 0 gornju nejednakost možemo zapisati kao

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m} + h) ≥ C_{4}|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r}.

Sada neka je δ = 1. Kako je r ≤ 2 slijedi da je |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r−2} ≤ 1 pa tada je

\frac{1}{2}(|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r−2} + 1) ≤ 1.

Tada nejednakost (3.24) možemo zapisati kao

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(v_{m} + h) ≥ C_{4} \frac{|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{1 + |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}}

≥ \frac{C_{4}}{2} \frac{|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} + |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{1 + |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}} ≥ \frac{C_{4}}{2} |e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r}.

Kako je |.|_{L^{r}} norma imamo

|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} ≥ 2^{1−r}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} − |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r}.

Odavde slijedi (3.23).

Napomena 3.1 Primjetimo da C_{4} možemo uvijek odabrati tako da bude

(\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)} ≥ 1 + |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Tada je za

|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = (\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)},

očito

|e(v_{m} + h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≥ |e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} − |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≥ 1.

Sad ćemo u ocjenjivanju uvodnih članova odvojiti slučaje kada je n = 2 i n = 3. Prvo ćemo dokazati jednu lemu koja nam je neophodna za slučaj n = 2.

Lema 3.2 Neka je ϕ ∈ W_{0}^{1,r}(Ω) sa Ω ⊂ ℝ^{2}; tada

∥ϕ∥_{L^{2r}(Ω)} ≤ r^{1/r}∥∇ϕ∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{1/r}∥ϕ∥_{L^{r}(Ω)}^{(r−1)/r}, ∀r > 1.

Dokaz : Zbog gustoće je rezultat dovoljno pokazati za ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω). Imamo

|ϕ(x)|^{r} = r ∫_{−∞}^{x_{k}} |ϕ(x)|^{r−1}sgn(ϕ)\frac{∂ϕ}{∂x_{k}} dx_{k}, k = 1 ili 2,

što nam daje

max_{x_{k}} |ϕ(x_{k})|^{r} ≤ r ∫_{ℝ} |ϕ(x)|^{r−1} \frac{∂ϕ}{∂x_{k}} dx_{k}.

Konačno imamo

∫_{Ω} |ϕ(x)|^{2r}dx ≤ ∫_{ℝ} |ϕ(x)|^{r}dx_{1} ∫_{ℝ} |ϕ(x)|^{r}dx_{2}

≤ ∫_{ℝ} max_{x_{2}} |ϕ(x)|^{r}dx_{1} ∫_{ℝ} max_{x_{1}} |ϕ(x)|^{r}dx_{2}

≤ r^{2} ∫_{ℝ} |ϕ(x)|^{r−1} \frac{∂ϕ}{∂x_{1}} dx ∫_{ℝ} |ϕ(x)|^{r−1} \frac{∂ϕ}{∂x_{2}} dx

≤ r^{2}∥ϕ∥_{L^{r}(Ω)}^{r−1}∥\frac{∂ϕ}{∂x_{1}} ∥_{L^{r}(Ω)}∥ϕ∥_{L^{r}(Ω)}^{r−1}∥\frac{∂ϕ}{∂x_{2}} ∥_{L^{r}(Ω)}

≤ r^{2}∥ϕ∥_{L^{r}(Ω)}^{2(r−1)}∥∇ϕ∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{2},

pa sljedstveno

∥ϕ∥_{L^{2r}(Ω)} ≤ r^{1/r}∥∇ϕ∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{1/r}∥ϕ∥_{L^{r}(Ω)}^{(r−1)/r}, ∀r > 1.

Lema 3.3 Neka je v_{m} = ∑_{i=1}^{m} ξ_{i,m}w_{i}. Tada imamo

− ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇v_{m} ≥ −Λ_{n,r}^{i}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2} − β_{n,r}^{i},  (3.25)

gdje su konstante Λ_{n,r}^{i} i β_{n,r}^{i}, i = 1 ili 2, dane jednadžbama (3.13)-(3.14) za n = 2 i jednadžbama (3.16)-(3.17) za n = 3.

Dokaz :

1. n = 2

(a) Dokazujemo (3.25) za Λ_{2,r}^{1} i β_{2,r}^{1}:

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇v_{m} =

− ∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h − ∫_{Ω} v_{m} ⊗ h · ∇h,  (3.26)

∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ ∑_{i,j} ∥v_{m}^{i}∥_{L^{2r}(Ω)}∥v_{m}^{j}∥_{L^{2r}(Ω)}∥\frac{∂h^{j}}{∂x_{i}} ∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)}.

Koristeći Lemu 3.2 dobivamo

∫_{Ω} v_{m} ⊗v_{m} ·∇h ≤ r^{2/r}∥v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{2(r−1)/r}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2/r} ∑_{i,j} ∥\frac{∂h^{j}}{∂x_{i}} ∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)}

≤ 2^{1/r}r^{2/r}∥v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{2(r−1)/r}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2/r}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}.

Sada koristimo Poincaréovu nejednakost, Napomenu 2.1 i (2.1) pa dobivamo

∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ 2^{1/r}r^{2/r} \frac{d^{2(r−1)/r}}{r^{2(r−1)/r^{2}}} ∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}

≤ r^{2/r^{2}}c_{K,r}^{2}2^{1/r}d^{2(r−1)/r}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}.

Da bi dobili β_{2,r}^{1} drugi dio desne strane iz (3.26) pišemo u obliku

∫_{Ω} v_{m} ⊗ h · ∇h ≤ |h|_{L^{∞}(Ω)^{2}}|v_{m}|_{L^{r}(Ω)^{2}}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}.

Kako je |v_{m}|_{L^{r}(Ω)^{2}} ≤ ∥v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{2}} ako r ∈ [1, 2) tada imamo

∫_{Ω} v_{m} ⊗ h · ∇h

≤ \frac{d}{r^{1/r}} |h|_{L^{∞}(Ω)^{2}}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}

≤ ϵ_{1}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2}+\frac{1}{4ϵ_{1}} c_{K,r}^{2} \frac{d^{2}}{r^{2/r}} |h|_{L^{∞}(Ω)^{2}}^{2}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}^{2}, ∀ϵ_{1} > 0.

Izbor ϵ_{1} = 1 nam daje (3.25) za i = 1 i n = 2.

(b) Λ_{2,r}^{2} i β_{2,r}^{2} dobivamo koristeći sljedeći slijed jednakosti i nejedna-

kosti:

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇v_{m}
= ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇(v_{m} + h)
− ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇h.

Kako je h_{|Γ} = g imamo

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇(v_{m} + h) = \frac{1}{2} ∫_{Γ} |g|^{2}g · νdσ.

Za drugi dio pišemo

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇h

≤ ∑_{i,j} ∥v_{m}^{i} + h^{i}∥_{L^{2r}(Ω)}∥v_{m}^{j} + h^{j}∥_{L^{2r}(Ω)}∥\frac{∂h^{j}}{∂x_{i}} ∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)}

≤ ∑_{i,j}[r^{1/r}∥v_{m}^{i}∥_{L^{r}(Ω)}^{(r−1)/r}∥∇v_{m}^{i}∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{1/r} + ∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}]

×[r^{1/r}∥v_{m}^{j}∥_{L^{r}(Ω)}^{(r−1)/r}∥∇v_{m}^{j}∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{1/r} + ∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}]∥\frac{∂h^{j}}{∂x_{i}} ∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)}

≤ \{r^{1/r}∥v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{2}}^{(r−1)/r}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}^{1/r} + ∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}\}^{2} ∑_{i,j} ∥\frac{∂h^{j}}{∂x_{i}} ∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)}

≤ 2\{r^{2/r} \frac{d^{2(r−1)/r}}{r^{2(r−1)/r^{2}}} ∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2} + ∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}^{2}\}2^{1/r}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}

≤ r^{2/r^{2}}2^{1/r+1}d^{2(r−1)/r}c_{K,r}^{2}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{4}}^{2}

+2^{1/r+1}∥∇h∥_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{4}}∥h∥_{L^{2r}(Ω)^{2}}^{2}.

2. n = 3

(a) Prvo ćemo dokazati (3.25) za Λ_{3,r}^{1} i β_{3,r}^{1}:

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇v_{m} =

− ∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h − ∫_{Ω} v_{m} ⊗ h · ∇h,
∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ |v_{m}|_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}},

gdje je q_{3,r} = 3r/(5r − 6). Kako je |v|_{L^{α}(Ω)^{3}} ≤ 3^{(α−2)/2α}∥v_{m}∥_{L^{α}(Ω)^{3}}, za α ≥ 2, isto tako imamo

∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ 3^{1/q_{3,r}}∥v_{m}∥_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}.

Neka je c(3, r) najbolja Soboljevljeva konstanta za W_{0}^{1,r}(Ω). Tada imamo

∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ 3^{1/q_{3,r}}(c(3, r))^{2}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{9}}^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}},

i sa jednostavnom primjenom Kornove nejednakosti dobivamo Λ_{3,r}^{1}:

∫_{Ω} v_{m} ⊗ v_{m} · ∇h ≤ 3^{1/q_{3,r}}(c(3, r)c_{K,r})^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{9}}^{2}.

Za β_{3,r}^{1} koristimo nejednakost

∫_{Ω} v_{m} ⊗ h · ∇h ≤ |h|_{L^{∞}(Ω)^{3}}|v_{m}|_{L^{r}(Ω)^{3}}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{9}}

≤ \frac{d}{r^{1/r}} |h|_{L^{∞}(Ω)^{3}}∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{9}}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{9}}

≤ c_{K,r} \frac{d}{r^{1/r}} |h|_{L^{∞}(Ω)^{3}}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{9}}|∇h|_{L^{r(r−1)}(Ω)^{9}}

≤ ϵ_{1}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{9}}^{2}+\frac{1}{4ϵ_{1}} c_{K,r}^{2} \frac{d^{2}}{r^{2/r}} |h|_{L^{∞}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{r/(r−1)}(Ω)^{9}}^{2}, ∀ϵ_{1} > 0.

Izbor ϵ_{1} = 1 nam daje (3.25) za i = 1 i n = 3.

(b) S druge strane imamo sljedeći slijed jednakosti i nejednakosti:

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇v_{m}

= ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇(v_{m} + h)
− ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇h,

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇(v_{m} + h) = \frac{1}{2} ∫_{Γ} |g|^{2}g · νdσ,

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇h ≤ |v_{m} + h|_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}

≤ 2 · 3^{1/q_{3,r}}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}(∥v_{m}∥_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2} + ∥h∥_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2})

≤ 2 · 3^{1/q_{3,r}}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}∥h∥_{L^{3r/(3−r)}(Ω)^{3}}^{2}
+2 · 3^{1/q_{3,r}}c^{2}(3, r)c_{K,r}^{2}|∇h|_{L^{q_{3,r}} (Ω)^{9}}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{9}}^{2},
što nam daje Λ_{3,r}^{2} i β_{3,r}^{2}.

Nakon što smo ocjenili dijelove u nelinearnoj jednadžbi (3.22) naš problem možemo svesti na rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi za ξ_{i,m}. Definiramo normu na ℝ^{m} sa

∥ξ∥ = |e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}, gdje je v_{m} = ∑_{i=1}^{m} ξ_{i,m}w_{i}.  (3.27)

Ako je ∥ξ∥ = |e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = 0 tada koristimo Kornovu nejednakost pa imamo

∥∇v_{m}∥_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ c_{K,r}|e(v_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = 0,

ili ekvivalentno ∥ ∑_{i} ξ_{i,m}∇w_{i}∥_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = 0. Tada slijedi da je ∑_{i} ξ_{i,m}∇w_{i} = 0 s.s. u Ω. Kako je {w_{i}} ortogonalna baza za V_{2} imamo ξ_{i,m} = 0, ∀i = 1, …, m. Dakle ξ → ∥ξ∥ je norma na ℝ^{m}.

Neka je sada nelinearno preslikavanje ξ → P (ξ), ξ ∈ ℝ^{m}, dano sa

P_{i}(ξ) = ∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(w_{i})

+ ∫_{Ω}((v_{m} + h)∇)(v_{m} + h) · w_{i},  i = 1, …, m.  (3.28)

P je neprekidno preslikavanje za r > 2n/(n+2), pa trebamo ispitati rješivost jednadžbe

P (ξ) = 0 u ℝ^{m}.  (3.29)

Vodeći se rezultatima iz dodatka B za naš je problem dovoljno naći kuglu B iz ℝ^{m} tako da je

P (ξ) + λξ ≠ 0 za svaki λ ≥ 0, ξ ∈ ∂B.

Tada imamo egzistenciju bar jednog rješenja jednadžbe (3.29) unutar B.

Kritični korak je ocjeniti ξ · P (ξ).

Propozicija 3.3 Neka je ∂B_{r}^{i} = \{ξ ∈ ℝ^{m} : ∥ξ∥ = [Λ_{n,r}^{i}2^{r}/(ρ − \frac{1}{4})r]^{1/(r−2)}\}. Tada za svaki ξ ∈ ∂B_{r}^{i} imamo

ξ · P (ξ) = ∑_{j} P_{j}(ξ)ξ_{j} ≥ (ρ − \frac{1}{4})2^{1−r}∥ξ∥^{r} − Λ_{n,r}^{i}∥ξ∥^{2} − G_{r}^{i}, i = 1 ili 2,

(3.30)

gdje su Λ_{n,r}^{i} i β_{n,r}^{i} definirani sa (3.13)-(3.17), a ρ kao u Lemi 3.1:

G_{r}^{i} = β_{n,r}^{i} + \{ρ − \frac{1}{4} + \frac{(1/4)^{1−r}}{r} (\frac{r}{r − 1})^{r−1}\}|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r} + δ|e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Nadalje pretpostavimo da vrijedi

θ_{n,r}^{i} > β_{n,r}^{i} + χ_{n,r},  (3.31)

tj.

(\frac{4Λ_{n,r}^{i}}{(ρ − \frac{1}{4})^{2/r}r})^{r/(r−2)}(2 − r) > G_{r}^{i},  i = 1 ili 2,  (3.32)

tada imamo

P (ξ) + λξ ≠ 0 za svaki λ ≥ 0, ξ ∈ ∂B_{r}^{i}, i = 1 ili 2.

Dokaz : Koristeći Lemu 3.1, Napomenu 3.1 i Lemu 3.3 sa ϵ_{0} = 1/4 dobivamo (3.30). Ako napišemo X = ∥ξ∥ tada tražimo uvjete na Λ_{r}^{i} i G_{r}^{i} tako da ∃X > 0 koje zadovoljava

(ρ − \frac{1}{4})2^{1−r}X^{r} − Λ_{r}^{i}X^{2} − G_{r}^{i} > 0.  (3.33)

Zapisujemo (3.33) kao X^{2}((ρ − \frac{1}{4})2^{1−r}X^{r−2} − Λ_{r}^{i}) > G_{r}^{i} i kako su X^{2} i G_{r}^{i} pozitivni imamo sljedeći nužni uvjet:

X < X_{0} = (\frac{Λ_{r}^{i}}{(ρ − \frac{1}{4})2^{1−r}})^{1/(r−2)}.

Nakon što dobijemo gornje ograničenje tražimo Y ∈ (0, 1) tako da je ∥ξ∥ = Y X_{0} i da je desna strana u (3.30) pozitivna. To nas vodi na uvjet

Y^{r} − Y^{2} > \frac{1}{Λ_{r}^{i}X_{0}^{2}} G_{r}^{i}.

Optimalni izbor za Y je Y_{0} = (2/r)^{1/(r−2)}, što nam daje (3.32).

Konačno pretpostavimo da postoje i ∈ {1, 2}, ξ ∈ ∂B_{r}^{i} i λ > 0 tako da je P (ξ)+λξ = 0. Iz jednadžbe (3.30) dobivamo 0 = ξ·P (ξ)+λ|ξ|^{2} ≥ ξ·P (ξ) > 0, što je kontradikcija. Pa slijedi da je P (ξ) + λξ ≠ 0 za svaki λ ≥ 0, ξ ∈ ∂B_{r}^{i}.

Sada možemo sažeti naše rezultate u sljedećem teormu.

Teorem 3.1 Neka je 2 ≥ r > 2n/(n + 2) i neka vrijedi (3.31). Tada postoji barem jedno rješenje u_{m} ∈ h + V_{r}^{m} za (3.22) i vrijedi ocjena

|e(u_{m} − h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ (\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)}.  (3.34)

3.3 Rezultati egzistencije vrlo slabog rješenja

U ovom ćemo dijelu pokazati egzistenciju najmanje jednog vrlo slabog rješenja problema (3.1) kada uzmemo limes kad m → ∞ u Galjorkinovoj aproksimaciji. Počet ćemo sa rezultatom kompaktnosti i pomoćnim rezultatom koji se odnosi na inercijalni član.

Lema 3.4 Neka vrijede sve pretpostavke Teorema 3.1 i neka je u_{m} rješenje problema (3.21)-(3.22). Tada postoji podniz označen takoder s {u_{m}} tako da

u_{m} − h ⇀ u − h slabo u V_{r},  (3.35)
u_{m} − h → u − h u L^{α}(Ω)^{n}, 1 ≤ α < \frac{nr}{n − r},  (3.36)
u_{m} − h → u − h s.s. u Ω.  (3.37)

Lema 3.5 Neka je Ω ograničeno područje iz ℝ^{n} i neka su g_{ν} i g funkcije iz L^{q}(Ω), 1 < q < ∞ tako da vrijedi

|g_{ν}| ≤ C, g_{ν} → g s.s. u Ω.

Tada g_{ν} ⇀ g slabo u L^{q}(Ω).

Dokaz : Definiramo skup

E_{N} = {x|x ∈ Ω, |g_{ν}(x) − g(x)| ≤ 1 za ν ≥ N}.

Mjera skupa E_{N} raste s porastom od N i μ(E_{N}) → μ(Ω) kada N → ∞.

Neka je Φ_{N} skup funkcija ϕ iz L^{q′}(Ω)(\frac{1}{q} + \frac{1}{q′} = 1) sa nosačem u E_{N}, i neka

je Φ = ⋃_{N→∞} Φ_{N}; Φ gust u L^{q′}(Ω).

Ako uzmemo ϕ ∈ Φ, tada imamo

∫_{Ω} ϕ(g_{ν} − g)dx → 0 kada ν → ∞  (3.38)

Kako je Φ gust u L^{q′}(Ω) dokazali smo lemu.

Propozicija 3.4 Neka je B definirano sa (3.8), neka je r > 2n/(n + 2) i neka je u definirano Lemom 3.4. Tada B(u_{m}) ⇀ B(u) slabo u L^{q_{0}}(Ω)^{n^{2}}, za

neki q_{0} > 1, i B(u) ∈ Vr^{′}.

Dokaz : Počinjemo sa jednadžbom (3.22):

∫_{Ω} f_{r}(e(v_{m} + h)) · e(ψ)

− ∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇ψ = 0, ∀ψ ∈ V_{r}^{m}.

Ako je g_{m} = f_{r}(e(v_{m}+h)) i ako koristimo (3.34) dobivamo da je |g_{m}|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ C gdje C ovisi samo o r i n. Tako dobivamo

f_{r}(e(v_{m} + h)) ⇀_{m→∞} g ∈ L^{r′}(Ω)^{n^{2}}, slabo.

Stavljamo w_{m}^{i,j} = (u_{m} ⊗ u_{m})_{i,j}. Nadalje ako je r > 2n/(n + 2) tada postoji ε_{r,n} > 0 tako da je ω_{r,n} = nr/2(n−r)−ε_{r,n} > 1 (ako je r = 2n/(n+2)+η, η > 0, tada nr/2(n − r) = 1 + ((n + 2)/2(n − r))η). Tada imamo

∥w_{m}^{i,j}∥_{L^{ωr,n}(Ω)} ≤ ∥u_{m}^{i}∥_{L^{2ωr,n}(Ω)}∥u_{m}^{j}∥_{L^{2ωr,n}(Ω)}.

Iz (3.36) imamo u_{m}^{i} → u^{i} u L^{2ω_{r,n}}(Ω) kako je 1 < 2ω_{r,n} < nr/(n − r) i (u_{m}^{k})_{m} uniformno ograničen u L^{2ω_{r,n}}(Ω), ∀k = 1, …, n. Tako dobivamo niz u beskonačnosti

∥w_{m}^{i,j}∥_{L^{ωr,n}(Ω)} ≤ C, ∀i, j = 1, …, n,
w_{m}^{i,j} →_{m→∞} w^{i,j} = (u ⊗ u)_{i,j} s.s. u Ω, ∀i, j = 1, …, n.

Posljedično w_{m}^{i,j} ⇀ w^{i,j} slabo u L^{q}(Ω)^{n^{2}}, ∀q ∈ (1, ω_{r,n}) (iz Leme 3.5).

Sada uzimamo ψ ∈ V_{r}^{m_{0}} i kako je ∇ψ ∈ L^{(ω_{r,n})′}(Ω)^{n^{2}} dobivamo

∫_{Ω}(v_{m} + h) ⊗ (v_{m} + h) · ∇ψ →_{m→∞} ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇ψ.

Sljedstveno imamo

∫_{Ω} g · e(ψ) − ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇ψ = ∫_{Ω} g · e(ψ) + ⟨B(u), ψ⟩_{W^{−1,q},W^{1,q′}} = 0 (3.39)

za sve ψ ∈ V_{r}^{m_{0}} i za svaki m_{0} ∈ ℕ. Zbog gustoće (3.39) vrijedi za ψ ∈ V_{r} i

⟨B(u), ψ⟩_{V′,V} = ⟨g, ψ⟩_{V′_{r},V_{r}}.

Tako je B(u) ∈ Vr^{′}.

Propozicija 3.5 Neka je 2 ≥ r ≥ 3n/(n + 2), ϕ ∈ W^{1,∞}(Ω)^{n} i v ∈ V_{r}. Tada imamo

⟨B(v + ϕ), v⟩_{V′_{r},V_{r}} = ∫_{Ω} v ⊗ (v + ϕ) · ∇ϕ.  (3.40)

Dokaz : Kako je r ≥ 3n/(n + 2) i v ∈ V_{r} tada imamo ∫_{Ω}((v + ϕ)∇)v · v = 0. I tada

⟨B(v + ϕ), v⟩_{V′_{r},V_{r}} = − ∫_{Ω}((v + ϕ)∇)v · (v + ϕ) = ∫_{Ω} v ⊗ (v + ϕ) · ∇ϕ.

Teorem 3.2 Neka je n = 2, 3 i neka je 2 ≥ r > 2n/(n + 2). Nadalje neka je zadovoljen uvjet (3.31). Tada postoji barem jedno vrlo slabo rješenje u ∈ W^{1,r}(Ω)^{n} za problem (3.1) i ono zadovoljava ocjenu

|e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ (\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)} + |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = A_{r}.  (3.41)

Dokaz : Neka je 2 ≥ r > 2n/(n + 2) i neka je ispunjeno (3.31). Tada zbog Teroma 3.1 postoji u_{m} koji zadovoljava

∫_{Ω} f_{r}(e(u_{m})) · e(w_{i})dx − ∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇w_{i}dx = 0, ∀i ∈ {1, …, m},

u_{m} = g u W^{1−1/r,r}(Γ)^{n},  (3.42)

|e(u_{m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ (\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)} + |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Neka je u dano Lemom 3.4. Tada u = g na Γ i ocjena (3.41) je ispunjena.

Nadalje Propozicija 3.4 nam daje da je B(u) ∈ Vr^{′}. Još nam preostaje dokazati da vrijedi

∫_{Ω} f_{r}(e(u)) · e(ϕ + h − u) + ⟨B(u), ϕ⟩_{V′_{r},V_{r}} ≥ 0, ∀ϕ ∈ V_{r}.

Neka označimo A(v) = −div{f_{r}(e(v + h))} za v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}. Sada stavljamo v_{m} = u_{m} − h i zapisujemo (3.42) u obliku

⟨A(v_{m}), w_{i}⟩_{W^{−1,r′} (Ω)^{n},W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}} − ∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇w_{i} = 0, ∀i = 1, …, m,

tj.

⟨A(v_{m}), ϕ − v_{m}⟩_{W^{−1,r′} (Ω)^{n},W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}} − ∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇(ϕ − v_{m}) = 0, ∀ϕ ∈ V_{r}^{m}.

Monotonost od A povlači

∫_{Ω} f_{r}(e(ϕ + h)) · e(ϕ − v_{m}) − ∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇ϕ
+ ∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇v_{m} ≥ 0, ∀ϕ ∈ V_{r}^{m}.

Kako je v_{m} ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} imamo

∫_{Ω} u_{m} ⊗ u_{m} · ∇v_{m} = − ∫_{Ω} v_{m} ⊗ (v_{m} + h) · ∇h.

Kao i u nizovima (3.35)-(3.37) dobivamo

∫_{Ω} f_{r}(e(ϕ + h)) · e(ϕ + h − u)
− ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇ϕ − ⟨B(h), v⟩_{V′_{r},V_{r}} − ∫_{Ω} v ⊗ v · ∇h ≥ 0, ∀ϕ ∈ V_{r}^{m},

i zbog gustoće ∀ϕ ∈ V_{r}.

Korolar 3.1 Neka je 2 ≥ r ≥ 3n/(n + 2). Tada postoji barem jedno slabo rješenje u ∈ W^{1,r}(Ω)^{n} problema (3.1) koje zadovoljava ocjenu (3.41).

Dokaz : Neka je r ≥ 3n/(n + 2) i neka je u vrlo slabo rješenje problema (3.1). Tada

∫_{Ω} f_{r}(e(ϕ + h)) · e(ϕ + h − u) + ⟨B(u), ϕ⟩_{V′_{r},V_{r}}

−⟨B(h), u − h⟩_{V′_{r},V_{r}} − ∫_{Ω}(u − h) ⊗ (u − h) · ∇h ≥ 0,
∀ϕ ∈ V_{r}.  (3.43)

Nadalje imamo

⟨B(h), u − h)_{V′_{r},V_{r}} + ∫_{Ω}(u − h) ⊗ (u − h) · ∇h

= − ∫_{Ω} v ⊗ (v + h) · ∇h.

Kako je r ≥ 3n/(n + 2) koristimo Propoziciju 3.5 pa tada (3.43) možemo zapisati kao

⟨A(ϕ), ϕ − w⟩_{W^{−1,r′} (Ω)^{n},W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}} + F (ϕ) − F (w) ≥ 0, ∀ϕ ∈ V_{r},

sa F (ϕ) = ⟨B(u), ϕ⟩ i w = u−h. Kako je A monoton operator i F je linearan imamo

∫_{Ω} f_{r}(e(u)) · e(ϕ + h − u) + ⟨B(u), ϕ + h − u⟩_{V′_{r},V_{r}} ≥ 0, ∀ϕ ∈ V_{r},

ili

−div{f_{r}(e(u))} + B(u) = 0 u Vr^{′}.

Teorem 3.3 Neka je 2 ≥ r ≥ 3n/(n + 2). Tada ako je zadovoljen uvjet

4 sup_{r∈(2n/(n+2),2]} Λ_{n,r}^{i} < 1,  (3.44)

za neki i ∈ {1, 2}, postoji r^{∗} < 2 tako da je problem (3.1) rješiv za ∀r ∈ [r^{∗}, 2].

Dokaz : Možemo primjetiti da se (3.32) može zapisati kao

(Λ_{n,r}^{i}2)^{r/(r−2)}(\frac{2}{r})^{r/(r−2)}(\frac{2 − r}{(ρ − \frac{1}{4})^{2/(r−2)}} ) ≥ G_{r}.

Moramo primjetiti da su sve konstante Λ_{n,r}^{i} i β_{n,r} definirane u Lemi 3.3 uniformno ograničene za r ∈ [2n/(n + 2), 2] kako je h ∈ W^{1,∞}. Imamo (2/r)^{r/(r−2)} →_{r→2} e^{−1}. I tada ako je zadovoljeno (3.44) vrijedi

(Λ_{n,r}^{i}2)^{r/(r−2)} → +∞ kada r → 2,

pa je (3.32) zadovoljeno za r > r^{∗}.

3.4 Dokaz jedinstvenosti

Teorem 3.4 Neka je u slabo rješenje problema (3.1) koje zadovoljava (3.41). Nadalje neka je r ≥ 3n/(n + 2) i neka konstanta A_{r} iz (3.41) zadovoljava

A_{r} < (\frac{C_{4}}{c̃_{K,r}c_{K,r}^{2}c^{2}(n, r)n^{(r(n+2)−2n)/nr}})^{1/(3−r)}.  (3.45)

gdje je C_{4} konstanta iz Propozicije 2.4. Tada je rješenje u jedinstveno.

Dokaz : Pretpostavimo da imamo dva rješenja u_{1} i u_{2} za problem (3.9)-(3.11) i neka je u = u_{1} − u_{2}. Kako je r ≥ 3n/(n + 2) imamo

⟨A(u_{1}) − A(u_{2}), u⟩_{V′_{r},V_{r}} + ∫_{Ω} u ⊗ u_{1} · ∇u_{1}dx − ∫_{Ω} u ⊗ u_{2} · ∇u_{2}dx = 0,

gdje je A(ϕ) = −div{f_{r}(e(ϕ))}. Jednostavnim računom dobivamo

∫_{Ω} u ⊗ u_{1} · ∇u_{1}dx − ∫_{Ω} u ⊗ u_{2} · ∇u_{2}dx = ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇u_{2}dx,

pa nam Propozicija 2.4 povlači da vrijedi

0 ≥ C_{4} \frac{|e(u_{1}) − e(u_{2})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{δ + |e(u_{1})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r} + |e(u_{2})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}} + ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇u_{2}dx.

Sada razmatramo inercijalni član pa dobivamo

| ∫_{Ω} u ⊗ u · ∇u_{2}dx| ≤ |∇u_{2}|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}|u|_{L^{nr/(n−r)}(Ω)^{n}}^{2}

≤ c̃_{K,r}|e(u_{2})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}|u|_{L^{nr/(n−r)}(Ω)^{n}}^{2}
≤ c̃_{K,r}|e(u_{2})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}c^{2}(n, r)c_{K,r}^{2}n^{1/q_{n,r}}|e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2},

gdje je q_{n,r} = nr/(r(n + 2) − 2n) i

c(n, r) = π^{−1/2}n^{−1/2}(\frac{r − 1}{n − r})^{1−1/r}[\frac{Γ(1 + n/2)Γ(n)}{Γ(n/r)Γ(1 + n − n/r)}]^{1/n}.

Iz Teorema 3.2 imamo ocjenu

|e(u_{2})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ (\frac{Λ_{n,r}^{i}2^{r}}{(ρ − \frac{1}{4})r})^{1/(r−2)} + |e(h)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = A_{r},

i posljedično

0 ≥ C_{4} \frac{|e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}}{2 max_{i} |e(u_{i})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2−r}} − c̃_{K,r}γ_{n,r}A_{r}|e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2},

0 ≥ |e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}\{\frac{C_{4}A_{r}^{r−2}}{2} − c̃_{K,r}γ_{n,r}A_{r}\}.

Očito, nejadnakost C_{4}A_{r}^{r−2}/2 > c̃_{K,r}γ_{n,r}A_{r} povlači |e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} = 0. Kako u ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} i v → |e(v)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} je norma na W_{0}^{1,r}(Ω)^{n} imamo u = 0. Pa dokazali smo jedinstvenost uz uvjet

A_{r} < (\frac{C_{4}}{2c̃_{K,r}γ_{n,r}})^{1/(3−r)},

što je ekvivalentno sa (3.45).

Korolar 3.2 Neka je u slabo rješenje za (3.9)-(3.11) koje zadovoljava nejednakost

|e(u)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ R.  (3.46)

Nadalje, neka je r ≥ 3n/(n + 2) i neka R zadovoljava

R < (\frac{C_{4}}{c̃_{K,r}c_{K,r}^{2}c^{2}(n, r)n^{(r(n+2)−2n)/nr}})^{1/(3−r)}.  (3.47)

Tada su sva slaba rješenja unutar kugle (3.46) sa polumjerom R, koji zadovoljava (3.47), medusobno jednaka.

Navier-Stokesov sustav s viskoznošću koja ovisi o deformaciji

4.1 Linearni slučaj

Ova točka donosi presjek rezultata iz rada [9]. Neka je Ω Lipschitzov skup u ℝ^{n}, n = 2, 3 i neka je T > 0. Naš sustav jednadžbi je sada oblika:

\frac{∂u}{∂t} − div\{η(e(u))e(u)\} + ∇p = f u Ω_{T} ,  (4.1)
divu = 0 u Ω_{T} ,  (4.2)
u = 0 na Γ_{T} ,  (4.3)
u(·, 0) = u_{0} u Ω,  (4.4)

gdje je Ω_{T} = Ω × (0, T), Γ_{T} = ∂Ω × (0, T), η je kao u (1.4) ili (1.5), a mi proučavamo slučaj kada je η_{∞} = 0. Neka je 1 < r < 2 i neka je V_{r} prostor definiran s Defenicijom 2.3

V_{r} = {ϕ ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}; divϕ = 0},

opskrbljen s normom

|ϕ|_{V_{r}} = |e(ϕ)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}},

koja je ekvivalentna sa standardnom normom u W^{1,r}(Ω)^{n} zbog Leme 2.1 i Propozicije 2.2.

Definicija 4.1 Za B Banachov prostor definiramo prostor L^{r}(0, T; B) = {u : (0, T) → B, u jako izmjeriva funkcija i ∫_{0}^{T} |u|_{B}^{r} < ∞}. Definicija 4.2 Kažemo da je

u ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n} ∩ C([0, T]; Vr^{′}),

slabo rješenje problema (4.1)-(4.4) ako

− ∫_{Ω_{T}} u\frac{∂ϕ}{∂t} + ∫_{Ω_{T}} η(e(u))e(u)e(ϕ) = ∫_{Ω_{T}} fϕ,

∀ϕ ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{1}(0, T; L^{2}(Ω))^{n},

u(·, 0) = u_{0} u Vr^{′}.

Sada dokazujemo teorem: Teorem 4.1 (a) Neka je

f ∈ L^{r′}(0, T; Vr^{′}), u_{0} ∈ L^{2}(Ω)^{n}. (4.5)

Problem (4.1)-(4.4) ima jedinstveno slabo rješenje

u ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n} ∩ C([0, T]; Vr^{′}).

(b) Ako u (4.5) dodamo da je

f ∈ L^{2}(Ω_{T}), u_{0} ∈ W^{1,r}(Ω)^{n}, (4.6)

tada

u ∈ H^{1}(0, T; L^{2}(Ω))^{n} ∩ L^{∞}(0, T; V_{r}).

(c) Štoviše, ako su ispunjene (4.5) i (4.6) i ako još dodamo da vrijedi

f ∈ W^{1,∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}, u_{0} ∈ V_{r}, div{η(e(u_{0}))e(u_{0})} ∈ L^{2}(Ω)^{n}, (4.7)

tada

u ∈ W^{1,∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n} ∩ W^{1,r}(0, T; V_{r}).  (4.8)

Dokaz :

(a) Koristimo Galjorkinovu metodu. Neka je {ϕ_{i}} baza u W = V_{r}∩L^{2}(Ω)^{n}. Galjorkinova aproksimacija za u je oblika

u_{m}(t) = ∑_{i=1}^{m} h_{mi}(t)ϕ_{i}(x), (ispuštamo x zbog jednostavnosti),

pa je tako

hmj^{′}(t) ∫_{Ω} ϕ_{i}ϕ_{j} + ∫_{Ω} η(e(u_{m}))e(u_{m})e(ϕ_{j}) = ∫_{Ω} fϕ_{j},

h_{mj}(0) = h_{mj}^{0} = ∫_{Ω} u_{0}ϕ_{j},  j = 1, …, m.  (4.9)

Sustav (4.9) dopušta (barem lokalno po vremenu) C^{1} rješenja h_{m1}, ⋯, h_{mm}. Apriorne ocjene (4.12), (4.13) garantiraju da to rješenje postoji na cijelom intervalu (0, T). Nadalje označimo sa C(q, s) optimalnu Soboljevljevu konstantu ulaganja (u kombinaciji sa Kornovom nejednakosti) tako da je

|ϕ|_{L^{s}(Ω)^{n}} ≤ C(q, s)|e(ϕ)|_{L^{q}(Ω)^{n^{2}}}, ∀ϕ ∈ W_{0}^{1,q}(Ω)^{n}, q < n, 1 ≤ s ≤ q^{∗} = \frac{nq}{n − q} .

Isto tako ako se pozovemo na Propoziciju 2.4 za bilo koje ograničeno područje O ⊂ ℝ^{n} postoje D_{0}(O), d_{0}(O) > 0 tako da je

∫_{O} η(e(ϕ))|e(ϕ)|^{2} ≥ d_{0}(O)|e(ϕ)|_{L^{r}(O)^{n^{2}}}^{2}(δ + |e(ϕ)|_{L^{r}(O)^{n^{2}}}^{2−r})^{−1}, (4.10)

|η(e(ϕ))e(ϕ)|_{L^{r′} (O)^{n^{2}}} ≤ D_{0}(O)(δ + |e(ϕ)|_{L^{r}(O)^{n^{2}}}^{r−1}), ∀ϕ ∈ W^{1,r}(O)^{n},

(4.11)

gdje je δ = 0 za zakon potencije i δ = 1 za Carreauov zakon (za zakon potencije D_{0}, d_{0} mogu biti izabrani neovisno o O). Ako pomnožimo (4.9) sa h_{mj} i ako sumiramo po j dobivamo

\frac{1}{2} \frac{d}{dt}|u_{m}(t)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}+∫_{Ω} η(e(u_{m}(t)))|e(u_{m}(t))|^{2} ≤ |f|_{L^{r′} (0,T;V′_{r})}|e(u_{m}(t))|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Ako integriramo po t na intervalu (0, T) dobivamo

|u_{m}|_{L^{r}(0,T;W^{1,r}(Ω))^{n}}^{2} ≤ \frac{2}{d_{0}(Ω_{T})}\{\frac{3}{2d_{0}(Ω_{T})}δ^{2}|f|_{L^{r′} (0,T;V′_{r})}^{2}+

+\frac{r − 1}{2}(\frac{9 − 3r}{d_{0}(Ω_{T})})^{\frac{2−r}{r−1}} |f|_{L^{r′} (0,T;V′_{r})}^{2/(r−1)}+

+\frac{r}{2}[\frac{1}{2}|u_{0}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}(\frac{d_{0}(Ω_{T})}{3(2 − r)})^{r/2−1}]^{2/r}\} ≡ D_{1}^{2},  (4.12)

i analogno

|u_{m}|_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))^{n}}^{2} ≤ 2D_{1}|f|_{L^{r′} (0,T;V′_{r})} + |u_{0}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} ≡ D_{2}^{2}.  (4.13)

Dakle, možemo izabrati takav podniz u_{ν} da zadovoljava

u_{ν} ⇀ u slabo u L^{r}(0, T; V_{r}), slabo-∗ u L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}, (4.14)
−div{η(e(u_{ν}))e(u_{ν})} ⇀ χ slabo u L^{r′}(0, T; Vr^{′}).  (4.15)

Iz ovoga i iz (4.9) slijedi da vrijedi

⟨u′, v⟩ + ⟨χ, v⟩ = ⟨f, v⟩,  ∀v ∈ V_{r}.  (4.16)

Sada trebamo pokazati da je

χ = −div{η(e(u))e(u)},  (4.17)

tj. prvo dokazujemo da vrijedi nejednakost

\frac{1}{2}|u(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} + ∫_{0}^{s}⟨χ, u⟩dt ≥ ∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}.  (4.18)

Fiksiramo s_{0}, s ∈ (0, T), s_{0} < s; neka je θ_{m} neprekidna linearna funkcija na (0, T), θ_{m}(t) = 1, ako s_{0}+ \frac{2}{m} < t < s− \frac{2}{m}, θ_{m}(t) = 0 za t > s− \frac{1}{m} ili za t < s_{0} + \frac{1}{m}. Neka je ρ_{m} regularizacijska jezgra u D(ℝ), ρ_{n}(t) = ρ_{n}(−t).

∫_{−∞}^{+∞} ρ_{n}(t)dt = 1, nosač od ρ_{n} leži u [−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}].

Za n > 2m stavimo

v = ((θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n})θ_{m},  (4.19)

pa funkciju v = v(t) iz (4.16) zamjenimo sa v iz (4.19).

Primjetimo da je

∫_{0}^{T} ⟨u′, v⟩dt = ∫_{0}^{T} ⟨θ_{m}u′, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt =

∫_{0}^{T} ⟨(θ_{m}u)′ ∗ ρ_{n}, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n}⟩dt − ∫_{0}^{T} ⟨θm^{′}u, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt =

− ∫_{0}^{T} ⟨θm^{′}u, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt ⟶_{n→∞} − ∫_{0}^{T} θ_{m}θm^{′}|u|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}dt,

pa iz toga dobivamo:

∫_{0}^{T} (−θ_{m}θm^{′})|u|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}dt + ∫_{0}^{T} θ_{m}^{2}⟨χ, u⟩dt = ∫_{0}^{T} θ_{m}^{2}⟨f, u⟩dt. (4.20)

Ako m pošaljemo u beskonačnost dobivamo

∫_{0}^{T} (−θ_{m}θm^{′})|u|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}dt → \frac{1}{2}|u(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}−\frac{1}{2}|u(s_{0})|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}, za svaki s i s_{0}.

pa, slijedi,

\frac{1}{2}|u(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}+∫_{s_{0}}^{s}⟨χ, u⟩dt = \frac{1}{2}|u(s_{0})|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}+∫_{s_{0}}^{s}⟨f, u⟩dt, za svaki s i s_{0}.

(4.21)

Jednako, kako je u ∈ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}, možemo naći s_{0n} → 0, t.d. je zadovoljeno (4.21) i u(s_{0n}) slabo konvergira u L^{2}(Ω)^{n}; pa kako u(s) → u(0) = u_{0}

u(s_{0n}) ⇀ u_{0} slabo u L^{2}(Ω)^{n}.  (4.22)

Fiksiramo s t.d. zadovoljava (4.21) i uzmemo da je s_{0} = s_{0n}. Zbog (4.22) dobivamo (4.18).

Sada možemo dokazati (4.17) koristeći monotonost od r-Stokesovog operatora. Za ϕ ∈ L^{r}(0, T; V_{r})

X_{ν}^{s} = ∫_{0}^{s}⟨−div\{η(e(u_{ν}))e(u_{ν})\}+div\{η(e(ϕ))e(ϕ)\}, u_{ν}−ϕ⟩dt+\frac{1}{2}|u_{ν}(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2},

(4.23)

gdje s zadovoljava (4.18).

Zbog (4.13) postoji M > 0 tako da je

|u_{m}|_{L^{2}(Ω)^{n}} ≤ M, za svaki m ∈ ℕ.

Tada postoje podniz {u_{ν}} ⊂ {u_{m}} i u ∈ L^{2}(Ω)^{n} tako da vrijedi

u_{ν}(s) ⇀ u(s) slabo u L^{2}(Ω)^{n},

pa iz monotonosti od r-Stokesovog operatora i (4.23), slijedi da je

lim inf_{ν→∞} X_{ν}^{s} ≥ \frac{1}{2}|u(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}.  (4.24)

Jednako zbog (4.9)

X_{ν}^{s} = ∫_{0}^{s}⟨f, u_{ν}⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0ν}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} + ∫_{0}^{s}⟨div\{η(e(u_{ν}))e(u_{ν})\}, ϕ⟩dt

+ ∫_{0}^{s}⟨div{η(e(ϕ))e(ϕ)}, u_{ν} − ϕ⟩dt → X^{s},

gdje je

X^{s} = ∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} − ∫_{0}^{s}⟨χ, ϕ⟩dt

+ ∫_{0}^{s}⟨div{η(e(ϕ))e(ϕ)}, u − ϕ⟩dt.

Zbog (4.24) dobivamo:

∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} − ∫_{0}^{s}⟨χ, ϕ⟩dt

+ ∫_{0}^{s}⟨div\{η(e(ϕ))e(ϕ)\}, u − ϕ⟩dt ≥ \frac{1}{2}|u(s)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2}.

Iz ove nejednakosti i iz (4.18) dobivamo da je

∫_{0}^{s}⟨χ + div{η(e(ϕ))e(ϕ)}, u − ϕ⟩dt ≥ 0 za svaki s.  (4.25)

Dokaz za (4.17) slijedi pomoću Mintyjeve procedure, tj. stavljajući ϕ = u + tψ i puštajući t → 0 (t > 0 i t < 0).

I jedinstvenost isto tako proizlazi iz monotonosti. Tada jednadžba povlači i da u ∈ C([0, T]; Vr^{′}) što nam daje smisao početnom uvjetu. Sada još želimo dokazati regularnost po vremenu.

(b) Prvo, množimo (4.9) sa hmj^{′} pa kad sumiramo po j dobivamo

|\frac{∂u_{m}(t)}{∂t}|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} + \frac{d}{dt}F (|e(u_{m}(t))|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}) = ∫_{Ω} f \frac{∂u_{m}(t)}{∂t},  (4.26)

gdje je

F (z) = ∫_{0}^{z} η(ξ)dξ = \{ \begin{matrix}\frac{μ}{r}|z|^{r}, & za zakon potencije \\ \frac{η_{0}}{λr}(1 + λ|z|^{2})^{r/2}, & za Carreauov zakon \end{matrix} ,

Primjetimo da za u_{0m} (projekcija od u_{m} na prostor razapet sa ϕ_{1}, …, ϕ_{m}) imamo

|e(u_{0m})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}} ≤ |e(u_{0})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}.

Integrirajući po t dobivamo

|\frac{∂u_{m}}{∂t} |_{L^{2}(Ω_{T})^{n}}^{2} ≤ |f|_{L^{2}(Ω_{T})^{n}}^{2} + F (|e(u_{0})|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}) ≡ D_{3}^{2},  (4.27)

i tada

|u_{m}|_{L^{∞}(0,T;W^{1,r}(Ω))^{n}}^{r} ≤ P D_{3}|f|_{L^{2}(Ω_{T})^{n}} ≡ D_{4}^{r},  (4.28)

gdje je P = r/μ u slučaju zakona potencije i P = rλ^{1−r/2}/2η_{0} u slučaju Carreauovog zakona. Ocjene (4.27) i (4.28) povlače da vrijedi

u ∈ L^{∞}(0, T; W^{1,r}(Ω))^{n}, \frac{∂u}{∂t} ∈ L^{2}(Ω_{T})^{n}.

(c) Naš sljedeći korak je da deriviramo (4.1) po t. Uzimamo da je u_{0} ∈ V_{r}, div\{η(e(u_{0}))e(u_{0})\} ∈ L^{2}(Ω)^{n} i da je \frac{∂f}{∂t} ∈ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}. Zbog jednostavnosti uzimamo da je u Galjorkinovoj bazi ϕ_{1} = u_{0}. Primjetimo da je

I = ∫_{Ω}\{\frac{d}{dt}η(e(u_{m}(t)))e(u_{m}(t))\}e(\frac{∂u_{m}(t)}{∂t}) =  (4.29)

= ∫_{Ω} H(e(u_{m}(t)))[e(u_{m}(t)) · e(\frac{∂u_{m}(t)}{∂t})]^{2}+

+ ∫_{Ω} η(e(u_{m}(t)))|e(\frac{∂u_{m}(t)}{∂t})|^{2},

gdje je

H(z) = \{ \begin{matrix}μ(r − 2)|z|^{r−4}, & za zakon potencije \\ η_{0}λ(r − 2)(1 + λ|z|^{2})^{r/2−2}, & za Carreauov zakon \end{matrix} .

Koristeći Cauchyjevu nejednakost dobivamo

H(z)(z · ξ)^{2} ≥ (r − 2)η(z)|ξ|^{2}, z, ξ ∈ ℝ^{n×n},

pa tako

I ≥ (r − 1) ∫_{Ω} η(e(u_{m}(t)))|e(\frac{∂u_{m}}{∂t} (t))|^{2} ≥ 0.

Ako (4.9) deriviramo po t i pomnožimo sa hmj^{′} sumiranjem dobivamo

\frac{1}{2} \frac{d}{dt}|\frac{∂u_{m}}{∂t} (t)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} + I = ∫_{Ω} \frac{∂f}{∂t} \frac{∂u_{m}}{∂t} (t).  (4.30)

Jednadžba (4.26) za t = 0 nam daje

|\frac{∂u_{m}}{∂t} (0)|_{L^{2}(Ω)^{n}} ≤ |div\{η(e(u_{0}))e(u_{0})\}|_{L^{2}(Ω)^{n}} + |f(0)|_{L^{2}(Ω)^{n}} ≡ D_{5}^{2}.

Sada integrirajući (4.29) po t dobivamo

|\frac{∂u_{m}}{∂t} |_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} ≤ 2(|\frac{∂u_{m}}{∂t} (0)|_{L^{2}(Ω)^{n}}^{2} + |\frac{∂f}{∂t} |_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))^{n}}^{2}) ≤

≤ 2(D_{5}^{2} + |\frac{∂f}{∂t} |_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))^{n}}^{2}) ≡ D_{6}^{2}.  (4.31)

Zaključujemo da

\frac{∂u}{∂t} ∈ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}.

Primijetimo da je η(ξ)^{r/(r−2)} = cF (ξ), gdje je c = rμ^{2/(r−2)} za zakon potencije i c = λrη_{0}^{2/(r−2)} za Carreauov zakon, pa primijenom Hölderove nejednakosti sa potencijama 2/r i 2/(2 − r) dobivamo

∫_{0}^{T} ∫_{Ω} |e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|^{r} = ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} |e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|^{r}η(e(u_{m}))^{r/2}η(e(u_{m}))^{−r/2} ≤

(∫_{0}^{T} ∫_{Ω} η(e(u_{m}))|e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|^{2})^{r/2}(c ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} F (e(u_{m})))^{(2−r)/2},

pa tako

∫_{0}^{T} ∫_{Ω} η(e(u_{m}))|e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|^{2} ≥ (c|F (u_{m})|_{L^{r}(Ω_{T})^{n}})^{1− \frac{2}{r}} |e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|_{L^{r}(Ω_{T})^{n^{2}}}^{2}.

(4.32)

Sada (4.30) povlači

|e(\frac{∂u_{m}}{∂t})|_{L^{r}(Ω_{T})^{n^{2}}} ≤ (r − 1)^{−1}D_{6}|\frac{∂f}{∂t} |_{L^{2}(Ω)^{n}}(c|F (u)|_{L^{r}(Ω_{T})^{n}})^{2/r−1} ≡ D_{7}^{2},

(4.33)

pa tako

\frac{∂u}{∂t} ∈ L^{r}(0, T; W^{1,r}(Ω))^{n}.

Često je veoma važno dobiti optimalnu apriori ocjenu za rješenje. To je posebno u slučaju kada Ω ovisi o nekim parametrima kao u slučaju porozne sredine ili tanke domene. U našem slučaju mi dajemo stroge ocjene oblika:

Korolar 4.1 Pretpostavimo da je zadovoljeno (4.5), tada

|u|_{L^{r}(0,T;V_{r})} ≤ D_{1},  |u|_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))^{n}} ≤ D_{2},  (4.34)

gdje su D_{1}, D_{2} dane sa (4.12) i (4.13). Ako je još ispunjeno i (4.6) tada

|\frac{∂u}{∂t}|_{L^{2}(Ω_{T})^{n}} ≤ D_{3},  |u|_{L^{∞}(0,T;V_{r})} ≤ D_{4},  (4.35)

gdje su D_{3} i D_{4} dane sa (4.27) i (4.28). Konačno ako je ispunjeno (4.8) tada

|\frac{∂u}{∂t}|_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))^{n}} ≤ D_{6},  |\frac{∂u}{∂t}|_{L^{r}(0,T;V_{r})} ≤ D_{7},  (4.36)

gdje su D_{6}, D_{7} definirane u (4.31) i (4.33).

Tlak p se ne pojavljuje u našoj definiciji slabog rješenja. Vodeći se dodatnom regularnošću možemo uvesti p ne koristeći njegovu primitivnu funkciju po t. Značenje tlaka p - egzistencija i regularnost dani su u sljedećem teoremu:

Teorem 4.2 Neka je

f ∈ L^{∞}(0, T; L^{r′}(Ω))^{n},  u_{0} ∈ W^{1,r}(Ω)^{n}.  (4.37)

Tada postoji jedinstveni p ∈ L_{0}^{2}(Ω_{T}) takao da je ispunjeno (4.1) u smislu distribucija.

Ako je još ispunjeno i (4.7) tada p ∈ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω)).

Dokaz : Kako je \frac{∂u}{∂t} ∈ L^{2}(Ω_{T})^{n} ⊂ L^{2}(0, T; H^{−1}(Ω))^{n} i

div{η(e(u))e(u)} ∈ L^{∞}(0, T; W^{−1,r′}(Ω))^{n} ⊂ L^{2}(0, T; H^{−1}(Ω))^{n},

tada imamo

w ≡ \frac{∂u}{∂t} + div\{η(e(u))e(u)\} − f ∈ L^{2}(0, T; H^{−1}(Ω)^{n}),

i ⟨w|ϕ⟩ = 0, ∀ϕ ∈ L^{2}(0, T; V_{2}). Sada nam Propozicija 2.1 povlači da je w = −∇p.

Dodatne pretpostavke povlače da w ∈ L^{∞}(0, T; V2^{′}), što nam daje drugu tvrdnju.

Da bi dobili apriornu ocjenu za tlak treba nam Nečasova nejednakost (vidi Propoziciju 2.3):

|ϕ − |Ω|^{−1} ∫_{Ω} ϕdx|_{L^{2}(Ω)} ≤ D_{8}|∇ϕ|_{H^{−1}(Ω)},  ∀ϕ ∈ L^{2}(Ω).  (4.38)

Stroga ocjena za tlak je dana preko:

Korolar 4.2 Pretpostavimo da je ispunjeno (4.37). Neka je D_{0} definirano u (4.11) i D_{1}, D_{3}, D_{8} preko (4.12),(4.27) i (4.38). Tada

|p|_{L^{2}(Ω_{T})} ≤ D_{8}{D_{3} + |Ω_{T} |^{1/r−1/2}[D_{0}(δ + D_{1}^{r−1}) + |f|_{L^{r′} (0,T;V′_{r})}]}.

Ako je još ispunjeno i (4.7), tada

|p|_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω))} ≤ D_{8}{D_{6} + |Ω|^{1/r−1/2}[D_{0}(δ + D_{4}^{r−1}) + |f|_{L^{∞}(0,T;V′_{r})}]},

gdje su D_{4} i D_{6} dane s (4.28) i (4.31).

Napomena 4.1 Rezultati iz Teorema 4.1 i 4.2 se mogu proširiti i na slučaj nehomogenih rubnih uvjeta

u = g na Γ_{T} ,

gdje je

∫_{Γ} g(·, t) · ν = 0 za (s.s.) t ∈ (0, T).

Pretpostavimo da je

g ∈ W^{1,r′}(0, T; W^{−1,r′}(Ω))^{n} ∩ L^{r}(0, T; W^{1,r}(Ω))^{n} ∩ C([0, T]; L^{2}(Ω))^{n},

tako da je divg = 0. Tada tvrdnja (a) iz Teorema 4.1 vrijedi. Ako još dodamo da vrijedi

\frac{∂g}{∂t} − div\{η(e(g))e(g)\} ∈ L^{2}(Ω_{T})^{n}, u_{0} − g(·, 0) ∈ V_{r},

tada i tvrdnja (b) vrijedi. Za tvrdnju (c) treba nam g tako da je

\frac{∂g}{∂t} − div\{η(e(g))e(g)\} ∈ W^{1,∞}(0, T; L^{2}(Ω))^{n}, u_{0} − g(·, 0) ∈ V_{r}.

4.2 Jedan teorem o kompaktnosti

Neka su X_{0}, X, X_{1} Banachovi prostori t.d. je X_{0} ↪ X ↪ X_{1} kompaktno. Neka je T > 0, α_{0}, α_{1} > 1. Definiramo prostor

Y = {v ∈ L^{α_{0}}(0, T; X_{0}), v′ ∈ L^{α_{1}}(0, T; X_{1})},

i normu

|v|_{Y} = |v|_{L^{α_{0}}(0,T;X_{0})} + |v′|_{L^{α_{1}}(0,T;X_{1})}.

Teorem 4.3 Ulaganje Y ↪ L^{α_{0}}(0, T; X) je kompaktno.

Dokaz teorema se može naći u [17].

4.3 Klasični rezultati za inicijalni problem

U ovoj su točki obradeni rezultati iz [6]. Neka je Ω omeden Lipschitzov skup u ℝ^{n} s granicom Γ. Za vektor u = (u_{1}, …, u_{n}) gdje je u_{i} realna funkcija na Ω definiramo

A(u) = −div(η(e(u))e(u)),  (4.39)

gdje je η viskoznost definirana u (1.4) ili (1.5), a mi pročavamo slučaj kada je η_{∞} = 0. Kvazinewtonovski Navier-Stokesov sustav je sada oblika

\frac{∂u}{∂t} + A(u) + (u∇)u + ∇p = f u Ω,  (4.40)
divu = 0 u Ω,  (4.41)
u = 0 na Σ = Γ × (0, T),  (4.42)
u(x, 0) = u_{0}(x), x ∈ Ω, (4.43)

gdje je u = u(x, t) = (u_{1}(x, t), …, u_{n}(x, t)) (za x ∈ Ω, t ∈ (0, T)) brzina, a p = p(x, t) tlak. Neka su V i V_{r} dani Definicijom 2.3, pa slijedi da je

V_{r} = {v|v ∈ W_{0}^{1,r}(Ω)^{n}, divv = 0}.

Uvodimo

V^{s} = zatvarač od V u H^{s}(Ω)^{n},  (4.44)
H = zatvarač od V u L^{2}(Ω)^{n}(= V_{0}).  (4.45)

Definicija 4.3 Neka je r ≥ 1 + \frac{2n}{n+2} i neka je trilinearna forma b dana Definicijom 3.1. Tada je

u ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; H) ∩ C([0, T]; Vr^{′})

slabo rješenje za problem (4.40)-(4.43) ako

\frac{d}{dt} ∫_{Ω} uϕ + ∫_{Ω} η(e(u))e(u) · e(ϕ) + b(u, u, ϕ) = ∫_{Ω} fϕ u D′(0, T), ∀ϕ ∈ V_{r}.

Teorem 4.4 Pretpostavimo da f ∈ L^{r′}(0, T; Vr^{′}), u_{0} ∈ H i vrijedi:

r ≥ 1 + \frac{2n}{n + 2}.  (4.46)

Tada problem (4.40), (4.41), (4.42) i (4.43) ima slabo rješenje u, t.d. je

u ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; H) ∩ C([0, T]; Vr^{′}).  (4.47)

Dokaz :

1. Biramo jednu specijalnu bazu.

Biramo s t.d je:

s > 1 + \frac{n}{2}.  (4.48)

Tada, ako je v ∈ H^{s}

\frac{∂v}{∂x_{i}} ∈ H^{s−1}(Ω) ⊂ L^{∞}(Ω), jer je \frac{1}{2} − \frac{s − 1}{n} < 0.

Kako \frac{∂v}{∂x_{i}} ∈ L^{r}(Ω), slijedi

V^{s} ⊂ V_{r} ⊂ H ⊂ Vr^{′} ⊂ (V^{s})′,  (4.49)

(H se identificira sa svojim dualom). Promatramo svojstvenu funkciju w_{j}:

⟨w_{j}, v⟩_{V^{s}} = λ_{j}⟨w_{j}, v⟩, ∀v ∈ V^{s}, (4.50)

(gdje je ⟨, ⟩ skalarni produkt u H). Sada primjenjujemo Galjorkinovu metodu za bazu {w_{j}}.

2. Galjorkinova metoda.

Definiramo u_{m}(t) ∈ {w_{1}, …, w_{m}} kao rješenje jednadžbe

⟨um^{′}(t), w_{j}⟩ + ⟨A(u_{m}(t)), w_{j}⟩ + b(u_{m}(t), u_{m}(t), w_{j}) = ⟨f(t), w_{j}⟩, (4.51)

gdje je 1 ≤ j ≤ m,

b(u, v, w) = ∑_{i,j=1}^{n} ∫_{Ω} u_{i}(\frac{∂v_{j}}{∂x_{i}})w_{j}dx,  (4.52)

zadovoljen je uvjet

u_{m}(0) = u_{0m} ∈ {w_{1}, …, w_{m}}, u_{0m} → u_{0} u H, (4.53)

i u_{m}(t) je definiran na [0, t_{m}], t_{m} > 0.

3. Apriorne ocjene (I). Primjetimo da je

⟨A(u), v⟩ = ∫_{Ω} η(e(u))e(u)e(v),  (4.54)

pa iz Propozicije 2.4 slijedi,

⟨A(v), v⟩ = ∫_{Ω} η(e(v))|e(v)|^{2} ≥ c_{0}(Ω)|e(v)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{2}(δ + |e(v)|_{L^{r}(Ω)n^{2}}^{r−2}),

(4.55)

|η(e(v))e(v)|_{L^{r′} (Ω)^{n^{2}}} ≤ C_{0}(Ω)|e(v)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}(δ + |e(v)|_{L^{r}(Ω)^{n^{2}}}^{r−2}), (4.56)

gdje je δ = 0 za zakon potencije i δ = 1 za Carreauov zakon. Sa druge strane, b(u, v, v) = 0 na V^{s}, pa iz (4.51) slijedi da je

\frac{1}{2} \frac{d}{dt}|u_{m}(t)|_{H}^{2} + ∫_{Ω} η(e(u_{m}(t)))|e(u_{m}(t))|^{2} ≤ |f(t)|_{V′_{r}}|e(u_{m}(t))|_{L^{r}(Ω)n^{2}},

(4.57)

a ukoliko je f ∈ L^{r′}(0, T; Vr^{′}) iz (4.57) slijedi da je

u_{m} ograničena u L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; H).  (4.58)

i t_{m} = T jer ako pretpostavimo da je t_{m} < T tada lim_{t→t_{m}} |u_{m}(t)|_{H} = +∞ što je u kontradikciji sa (4.58).

4. Apriorne ocjene (II). Primjetimo da za w ∈ V^{s}

|b(u_{m}(t), u_{m}(t), w)| = | − b(u_{m}(t), w, u_{m}(t))| ≤ c|u_{m}(t)|_{H}^{2}|w|_{V^{s}}.

Kako w ∈ V^{s} tada \frac{∂w_{j}}{∂x_{i}} ∈ L^{∞}(Ω), pa slijedi,

b(u_{m}(t), u_{m}(t), w) = ⟨g_{m}(t), w⟩ gdje je g_{m} ograničena u L^{∞}(0, T; (V^{s})′).

(4.59)

Neka operator P_{m} ortogonalno projicira H na {w_{1}, …, w_{m}}. Operator P_{m} je uniformno ograničen u L(H; H), L(V^{s}; V^{s}) i L((V^{s})′; (V^{s})′). Iz (4.51) slijedi da je

um^{′} + P_{m}A(u_{m}) + P_{m}g_{m} = P_{m}f.  (4.60)

Zbog (4.58) A(u_{m}) ograničen u L^{r′}(0, T; Vr^{′}) pa je on ograničen i u L^{r′}(0, T; (V^{s})′). Odatle je P_{m}A(u_{m}) ograničen u L^{r′}(0, T; (V^{s})′).

Analogno je zbog (4.59) P_{m}g_{m} ograničen u L^{∞}(0, T; (V^{s})′) i na koncu P_{m}f je ograničen u L^{r′}(0, T; (V^{s})′). Tada iz (4.60) slijedi da je

um^{′} ograničen u L^{r′}(0, T; (V^{s})′).  (4.61)

5. Granični slučaj (I). Ispunjenje kompaktnosti.

Zbog teorema o kompaktnosti V_{r} ↪ H je kompaktno uloženo. Slijedi da možemo izabrati takav podniz u_{ν} da zadovoljava

u_{ν} ⇀ u slabo u L^{r}(0, T; V_{r}), slabo-∗ u L^{∞}(0, T; H),  (4.62)
u_{ν} → u jako u L^{r}(0, T; H), (s.s.) Q = Ω × (0, T),  (4.63)
uν^{′} ⇀ u′ slabo u L^{r}(0, T; (V^{s})′),  (4.64)
A(u_{ν}) ⇀ χ slabo u L^{r′}(0, T; Vr^{′}).  (4.65)

Za fisksirani j primjetimo da je

b(u_{ν}, u_{ν}, w_{j}) → b(u, u, w_{j}) u D′(0, T) (na primjer!) .  (4.66)

Ako ϕ ∈ D(0, T), imamo:

∫_{0}^{T} b(u_{ν}, u_{ν}, w_{j})ϕdt = − ∫_{0}^{T} b(u_{ν}, w_{j}, u_{ν})ϕdt =

− ∑_{i,k=1}^{n} ∫_{Q} u_{νi}u_{νk}(\frac{∂w_{ji}}{∂x_{k}})ϕdxdt → − ∑_{i,k=1} ∫_{Q} u_{i}u_{k}(\frac{∂w_{ji}}{∂x_{k}})ϕdxdt =

∫_{0}^{T} b(u, u, w_{j})ϕdt,

zbog toga što je u_{νi}u_{νk} → u_{i}u_{k} u L^{1}(Q) (primjetimo da je r > 2). Iz ovoga i iz (4.51) slijedi da vrijedi

⟨u′, v⟩ + ⟨χ, v⟩ + b(u, u, v) = ⟨f, v⟩,  ∀v ∈ V^{s}.  (4.67)

Pa iz Soboljevljevog teorema

W^{1,r}(Ω) ⊂ L^{q}(Ω),  \frac{1}{q} = \frac{1}{r} − \frac{1}{n},  (4.68)

(gdje je q konačno i proizvoljno za \frac{1}{r} − \frac{1}{n} ≤ 0) i forma b(u, v, w) je neprekidna na V_{r} kad je \frac{2}{q} + \frac{1}{r} ≤ 1, tj. r ≥ \frac{3n}{n+2}, što je ispunjeno sa uvjetom (4.46). Slijedi da je jednadžba (4.67) ispunjena za v ∈ V_{r}.

6. Granični slučaj (II). Ispunjenje monotonosti. Zbog (4.62), (4.64) u_{ν}(0) → u(0) u (V^{s})′, nadalje

u(0) = u_{0},

pa dokazali smo teorem ako provjerimo da je

χ = A(u).  (4.69)

Trebamo provjeriti sljedeće:

\{ \begin{matrix}Ako u, v ∈ L^{r}(0, T; V_{r}) ∩ L^{∞}(0, T; H), i ako vrijedi (4.52), \\ tada je funkcija t → b(u(t), u(t), v(t)) iz L^{1}(0, T). \end{matrix} (4.70)

Sa slaganjem suma definiranim u (4.52), ostaje nam pokazati da kada je

u, v ∈ L^{r}(0, T; W_{0}^{1,r}(Ω)) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω)),

funkcija

t → ∫_{Ω} uv \frac{∂u}{∂x_{i}} dx je iz L^{1}(0, T).

Zbog (4.68) (mi se možemo ograničiti na slučaj kada je \frac{1}{r} − \frac{1}{n} > 0):

L^{r}(0, T; W_{0}^{1,r}(Ω)) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω)) ⊂
⊂ L^{r}(0, T; L^{q}(Ω)) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω)) ⊂ L^{ρ}(0, T; L^{σ}(Ω)),

gdje

\frac{1}{ρ} = \frac{1 − θ}{r} + \frac{θ}{∞} = \frac{1 − θ}{p}, \frac{1}{σ} = \frac{1 − θ}{q} + \frac{θ}{2}.

Mi izaberemo θ , t.d. je ρ = θ, tj. ako pustimo da je θ = 2/(n + 2) tada

L^{r}(0, T; W_{0}^{1,r}(Ω)) ∩ L^{∞}(0, T; L^{2}(Ω)) ⊂ L^{ρ}(Q),  (4.71)
\frac{1}{ρ} = \frac{n}{(n + 2)r}.  (4.72)

Mi ćemo proučavati rezultat kada je \frac{2}{ρ} + \frac{1}{r} ≤ 1, tj. kada je ispunjeno (4.46). Sada trebamo dokazati da vrijedi nejednakost

\frac{1}{2}|u(s)|_{H}^{2} + ∫_{0}^{s}⟨χ, u⟩dt ≥ ∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{H}^{2}.  (4.73)

Fiksiramo s_{0}, s ∈ (0, T), s_{0} < s; neka je θ_{m} neprekidna linearna funkcija na (0, T), θ_{m}(t) = 1, ako s_{0}+ \frac{2}{m} < t < s− \frac{2}{m}, θ_{m}(t) = 0 za t > s− \frac{1}{m} ili za t < s_{0} + \frac{1}{m}. Neka je ρ_{m} regularizacijska jezgra u D(ℝ), ρ_{n}(t) = ρ_{n}(−t).

∫_{−∞}^{+∞} ρ_{n}(t)dt = 1, nosač od ρ_{n} leži u [−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}].

Za n > 2m stavimo

v = ((θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n})θ_{m},  (4.74)

pa funkciju v = v(t) iz (4.67) zamjenimo sa v iz (4.74).

Primjetimo da je

∫_{0}^{T} ⟨u′, v⟩dt = ∫_{0}^{T} ⟨θ_{m}u′, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt =

∫_{0}^{T} ⟨(θ_{m}u)′ ∗ ρ_{n}, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n}⟩dt − ∫_{0}^{T} ⟨θm^{′}u, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt =

− ∫_{0}^{T} ⟨θm^{′}u, (θ_{m}u) ∗ ρ_{n} ∗ ρ_{n}⟩dt ⟶_{n→∞} − ∫_{0}^{T} θ_{m}θm^{′}|u|_{H}^{2}dt.

Zbog (4.70)

∫_{0}^{T} b(u, u, v)dt ⟶_{n→∞} ∫_{0}^{T} θ_{m}^{2}b(u, u, u)dt = 0,

(jer je b(u, u, u) = 0, ∀u ∈ V_{r}),

pa iz toga dobivamo

∫_{0}^{T} (−θ_{m}θm^{′})|u|_{H}^{2}dt + ∫_{0}^{T} θ_{m}^{2}⟨χ, u⟩dt = ∫_{0}^{T} θ_{m}^{2}⟨f, u⟩dt.  (4.75)

Ako m pošaljemo u beskonačnost dobivamo

∫_{0}^{T} (−θ_{m}θm^{′})|u|_{H}^{2}dt → \frac{1}{2}|u(s)|_{H}^{2} − \frac{1}{2}|u(s_{0})|_{H}^{2}, za svaki s i s_{0},

pa, slijedi,

\frac{1}{2}|u(s)|_{H}^{2} + ∫_{s_{0}}^{s}⟨χ, u⟩dt = \frac{1}{2}|u(s_{0})|_{H}^{2} + ∫_{s_{0}}^{s}⟨f, u⟩dt, za svaki s i s_{0}.

(4.76)

Jednako, kako je u ∈ L^{∞}(0, T; H), možemo naći s_{0n} → 0, t.d. je zadovoljeno (4.76) i u(s_{0n}) slabo konvergira u H; pa kako u(s) → u(0) =

u_{0} u V1^{′}, pa

u(s_{0n}) ⇀ u_{0} slabo u H.  (4.77)

Fiksiramo s t.d. zadovoljava (4.76) i uzmemo da je s_{0} = s_{0n}. Zbog (4.77) dobivamo (4.73). Sada možemo dokazati (4.69) koristeći monotonost od A. Za ϕ ∈ L^{r}(0, T; V_{r})

X_{ν}^{s} = ∫_{0}^{s}⟨A(u_{ν}) − A(ϕ), u_{ν} − ϕ⟩dt + \frac{1}{2}|u_{ν}(s)|_{H}^{2},  (4.78)

gdje s zadovoljava (4.73). Zbog (4.58) postoji M > 0 tako da je

|u_{m}|_{H} ≤ M, za svaki m ∈ ℕ.

Tada postoje podniz {u_{ν}} ⊂ {u_{m}} i u ∈ H tako da vrijedi

u_{ν}(s) ⇀ u(s) slabo u H,

pa iz monotonosti od A i (4.78), slijedi da je

lim inf_{ν→∞} X_{ν}^{s} ≥ \frac{1}{2}|u(s)|_{H}^{2}.  (4.79)

Jednako zbog (4.51)

X_{ν}^{s} = ∫_{0}^{s}⟨f, u_{ν}⟩dt+\frac{1}{2}|u_{0ν}|_{H}^{2}−∫_{0}^{s}⟨A(u_{ν}), ϕ⟩dt−∫_{0}^{s}⟨A(ϕ), u_{ν}−ϕ⟩dt → X^{s},

gdje je

X^{s} = ∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{H}^{2} − ∫_{0}^{s}⟨χ, ϕ⟩dt − ∫_{0}^{s}⟨A(ϕ), u − ϕ⟩dt.

Zbog (4.79) dobivamo:

∫_{0}^{s}⟨f, u⟩dt + \frac{1}{2}|u_{0}|_{H}^{2} − ∫_{0}^{s}⟨χ, ϕ⟩dt − ∫_{0}^{s}⟨A(ϕ), u − ϕ⟩dt ≥ \frac{1}{2}|u(s)|_{H}^{2}.

Iz ove nejednakosti i iz (4.73) dobivamo da je

∫_{0}^{s}⟨χ − A(ϕ), u − ϕ⟩dt ≥ 0 za svaki s.  (4.80)

Dokaz za (4.69) slijedi pomoću Mintyjeve procedure, tj. stavljajući ϕ = u + tψ i puštajući t → 0 (t > 0 i t < 0).

Dodatak A

Metoda monotonih operatora

A.1 Monotoni operatori

Definicija A.1 Neka je V refleksivan i separabilan Banachov prostor. Operator A : V → V′ je monoton ako je za sve u, v ∈ V

⟨A(u) − A(v), u − v⟩ ≥ 0,

gdje ⟨·, ·⟩ označava relaciju dualnosti prostora V i V′.

Operator A je hemineprekidan ako je za sve u, v, w ∈ V preslikavanje λ → (A(u + λv), w) neprekidno s ℝ u ℝ.

Operator A je ograničen ako ograničene podskupove prostora V preslikava u ograničene podskupove prostora V′.

A.2 Stacionarni problem

Teorem A.1 Neka operataor A : V → V′ zadovoljava sljedeće pretpostavke:

(i) A je ograničen i hemineprekidan,

(ii) A je monoton,

(iii) A je koercitivan, tj, \frac{⟨A(v),v⟩}{|v|_{V}} → +∞ kad |v|_{V} → +∞.

Tada je operator A surjektivan, tj. za svaki f ∈ V′ postoji u ∈ V t.d. je

A(u) = f.  (A.1)

Dokaz : Neka je w_{1}, …, w_{m}, … baza u V. Neka funkcija u_{m} ∈ {w_{1}, …, w_{m}}, zadovoljava jednadžbu

⟨A(u_{m}), w_{j}⟩ = ⟨f, w_{j}⟩,  1 ≤ j ≤ m.  (A.2)

Možemo primjetiti da vrijedi

⟨A(u_{m}), u_{m}⟩ − ⟨f, u_{m}⟩ ≥ ⟨A(u_{m}), u_{m}⟩ − c|u_{m}|_{V} ,

pa zbog pretpostavke (iii) vrijedi da je ⟨A(u_{m}), u_{m}⟩ − c|u_{m}|_{V} ≥ 0, kada je |u_{m}|_{L^{2}(Ω)} = ρ i ρ dovoljno veliko. Još možemo primjetiti da je funkcija v → ⟨A(v), v⟩ neprekidna na {w_{1}, …, w_{m}}. Zbog (A.2) slijedi da je

⟨A(u_{m}), u_{m}⟩ = ⟨f, u_{m}⟩ ≤ |f|_{V′}|u_{m}|_{V} ,

pa zbog pretpostavke (iii) imamo

|u_{m}|_{V} ≤ C.

Kako je operator A ograničen, slijedi da je |A(u_{m})|_{V′} ≤ C. Dakle postoji podniz u_{ν}, t.d. je

u_{ν} ⇀ u slabo u V,  A(u_{ν}) ⇀ χ slabo u V′.  (A.3)

Iz (A.2) pri ν = m, j fiksirano, dobivamo

⟨χ, w_{j}⟩ = ⟨f, w_{j}⟩, ∀j,

pa slijedi da je

χ = f.  (A.4)

S druge strane, zbog (A.2) ⟨A(u_{ν}), u_{ν}⟩ = ⟨f, u_{ν}⟩ → ⟨f, u⟩ i zbog (A.4) slijedi da

⟨A(u_{ν}), u_{ν}⟩ → ⟨χ, u⟩.  (A.5)

Sada još iz (A.3), (A.5) i pretpostavke (i) trebamo dokazati da je

χ = A(u).  (A.6)

Tada iz jednadžbe (A.4) dobivamo dokaz teorema. Imamo

⟨A(u_{ν}) − A(v), u_{ν} − v⟩ ≥ 0,  ∀v ∈ V.  (A.7)

Zbog (A.3), (A.5) dobivamo

⟨χ − A(v), u − v⟩ ≥ 0, ∀v ∈ V. (A.8)

Za v = u − λw, λ > 0, w ∈ V, sa (A.8) dobivamo

λ⟨χ − A(u − λw), w⟩ ≥ 0.

Odatle slijedi da je

⟨χ − A(u − λw), w⟩ ≥ 0,

i kada λ → 0, dobivamo ⟨χ − A(u), w⟩ ≥ 0, ∀w ∈ V. Analogno za λ < 0 dobivamo

⟨χ − A(u), w⟩ ≤ 0, ∀w ∈ V,

odnosno

⟨χ − A(u), w⟩ = 0, ∀w ∈ V,

što implicira (A.6). Napomena A.1 Teorem vrijedi i ako uvjet (ii) zamjenimo uvjetom

u_{ν} ⇀ u slabo u V, A(u_{ν}) ⇀ χ slabo u V′ i

lim sup⟨A(u_{ν}), u_{ν}⟩ ≤ ⟨χ, u⟩ ⇒ χ = A(u).  (A.9)

Tada iz (A.5) dobivamo (A.6) po definiciji. Definicija A.2 Operator A : V → V′ je strogo monoton ako je

⟨A(u) − A(v), u − v⟩ > 0, ∀u, v ∈ V, u ≠ v.

Poslijedica stroge monotonosti je injektivnost operatora A. Teorem A.2 Neka operataor A : V → V′ zadovoljava sljedeće pretpostavke:

(i) A je ograničen i hemineprekidan, (ii) A je monoton, (iii) A je koercitivan, (iv) A(0) = 0.

Tada je operator A bijektivan, tj. za svaki f ∈ V′ jednadžba A(u) = f ima jedinstveno rješenje u ∈ V.

Dokaz : Može se provjeriti da u zadovoljava (A.1) ako i samo ako

⟨A(v) − f, v − u⟩ ≥ 0,  ∀v ∈ V.  (A.10)

Stvarno, ako je ispunjeno (A.1) tada imamo

⟨A(v)−f, v−u⟩ = ⟨A(u)−f, v−u⟩+⟨A(v)−A(u), v−u⟩ = ⟨A(v)−A(u), v−u⟩ ≥ 0.

Ako u (A.10) stavimo v = u+λw, λ > 0, w ∈ V, nakon djeljenja s λ dobivamo

⟨A(u + λw) − f, w⟩ ≥ 0,

i kada λ → 0, zaključimo da ⟨A(u) − f, w⟩ ≥ 0, ∀w ∈ V, odakle slijedi (A.1).

Sada želimo dokazati da je skup rješenja jednadžbe A(u) = f zatvoren i konveksan. Označimo s E taj skup. Za v ∈ V definiramo skup S_{v} svih u ∈ V, za koje je ispunjeno (A.10). Tada

E = ⋂_{v∈V} S_{v},

a kako je S_{v} zatvoreni potprostor od V dokazali smo traženo.

Zbog stroge monotonosti skup E rješenja jednadžbe (A.1) je u sferi |u|_{V} = ρ s polumjerom ρ, a kako je E zatvoren i konveksan, a norma v → |v|_{V} je strogo konveksna, zaključujemo da se E sastoji od samo jedne točke.

A.3 Pseudomonotoni operatori

Definicija A.3 Operator A : V → V′ je pseudomonoton ako zadovoljava pretpostavke:

(i) A je ograničen,

(ii) ako u_{j} ⇀ u slabo u V i lim sup_{j→+∞}⟨A(u_{j}), u_{j} − u⟩ ≤ 0 tada je

lim inf_{j→+∞}⟨A(u_{j}), u_{j} − v⟩ ≥ ⟨A(u), u − v⟩, ∀v ∈ V.

Propozicija A.1 Vrijede sljedeće implikacije: ”A je ograničen, hemineprekidan i monoton.”⇒”A je pseudomonoton”⇒”operator A zadovoljava uvjet (A.9).”.

Dokaz : Ako postoji u_{j} tako da zadovoljava pretpostavku (ii) u definiciji A.3 i A je monotoni operator, tada

⟨A(u_{j}), u_{j} − u⟩ → 0.  (A.11)

To dobivamo iz monotonosti jer je

⟨A(u_{j}), u_{j} − u⟩ ≥ ⟨A(u), u_{j} − u⟩ → 0.

Ako je w = (1 − θ)u + θv, θ ∈ (0, 1), imamo

⟨A(u_{j}) − A(w), u_{j} − w⟩ ≥ 0.

Iz toga slijedi

θ⟨A(u_{j}), u − v⟩ ≥ −⟨A(u_{j}), u_{j} − u⟩ + ⟨A(w), u_{j} − u⟩ − θ⟨A(w), v − u⟩,

pa zbog (A.11) imamo

θ lim inf⟨A(u_{j}), u − v⟩ ≥ −θ⟨A(w), v − u⟩.

Podjelimo obje strane s θ pa zbog (A.11) dobivamo

lim inf⟨A(u_{j}), u_{j} − v⟩ ≥ ⟨A(w), v − u⟩, w = (1 − θ)u + θv, ∀θ ∈ (0, 1). (A.12)

Ako u (A.12) θ → 0 dobivamo da je ispunjeno svojstvo (ii) iz definicije pseudomonotonog operatora.

Sada nam još ostaje dokazati drugu implikaciju. Neka je u_{j} ⇀ u slabo u V, A(u_{j}) ⇀ slabo u V′ i lim sup⟨A(u_{j}), u_{j}⟩ ≤ ⟨χ, u⟩. Tada lim sup⟨A(u_{j}), u_{j} − u⟩ ≤ 0, pa nam (ii) iz Definicije A.3 daje

⟨A(u), u − v⟩ ≤ lim sup⟨A(u_{j}), u_{j} − v⟩ ≤ ⟨χ, u − v⟩, ∀v ∈ V,

pa

χ = A(u).

Iz ove propozicije i Napomene A.1 dobivamo sljedeći teorem:

Teorem A.3 Neka je A : V → V′ pseudomonoton i koercitivan operator. Tada za ∀f ∈ V′, jednadžba A(u) = f ima barem jedno rješenje.

Dodatak B

Topološki stupanj i njegova primjena

B.1 Osnovna svojstva

Neka je U otvoren i ograničen skup u X = ℝ^{n} i neka je ϕ ∈ C(Ū, X). Neka je još dan i b ∈ X \ ϕ(∂U). Brouwerov stupanj je cjelobrojna funkcija

deg(ϕ, U, b),

koja ima sljedeća osnovna svojstva:

(i) Normalizacija

Stupanj preslikavanja I : Ū → X, I(u) = u (identiteta), je dan sa

deg(I, U, b) = \{ \begin{matrix}1 & za b ∈ U \\ 0 & za b ∉ U \end{matrix} .

(ii) Svojstvo egzistencije (Kroneckerov princip)

Ako vrijedi da je

deg(ϕ, U, b) ≠ 0

tada postoji rješenje jednadžbe ϕ(u) = b u U.

(iii) Aditivno svojstvo

Neka su U_{1} i U_{2} disjunktni, neprazni, otvoreni i ograničeni skupovi u X i neka je ϕ : Ū_{1} ∪ U_{2} → X neprekidna funkcija, tako da b ∉ ϕ(∂U_{i}), i = 1, 2. Tada

deg(ϕ, U_{1} ∪ U_{2}, b) = deg(ϕ, U_{1}, b) + deg(ϕ, U_{2}, b).

(iv) Invarijantnost homotopije

Ako H ∈ C([0, 1] × Ū, x) i b ∉ H([0, 1] × ∂U) (takvo se preslikavanje H naziva homotopija), tada

deg(H(t, ·), U, b) = const.

tj. stupanj od H(t, ·) ne ovisi o t.

Sada pomoću gornjih aksioma ((i)-(iv)) izvodimo još neka svojstva Brouwerovog stupnja.

Propozicija B.1 (Neprekidnost stupnja s obzirom na ϕ) Preslikavanje ϕ → deg(ϕ, U, b) je neprekidno s obzirom na uniformnu topologiju prostora neprekidnih funkcija C(Ū, X), ako b ∉ ϕ(∂U).

Dokaz : Kako je stupanj cjelobrojna funkcija dokaz slijedi iz svojstva (iv).

Propozicija B.2 Da bi izračunali stupanj funkcije ϕ nužno i dovoljno nam je znati ϕ|_{∂U}. Drugim rječima, ako ϕ = ψ na ∂U, b ∉ ϕ(∂U), tada

deg(ϕ, U, b) = deg(ψ, U, b).

Dokaz : Ako u (iv) stavimo da je ϕ_{0}(u) := H(0, u) i ϕ_{1}(u) := H(1, u), tada kažemo da homotopija H spaja funkcije ϕ_{0} i ϕ_{1}. Doista, preslikavanje [0, 1] ∋ t → ϕ_{t}(·) := H(t, ·) može biti gledano kao put u prostoru funkcija C(Ū, X) sa ’krajnjim točkama’ u ϕ_{0} i ϕ_{1}. ’Točke’ ovog puta su funkcije ϕ_{t}, t ∈ [0, 1]. Ako sada definiramo

H(t, u) = (1 − t)ϕ(u) + tψ(u),

dokazali smo propoziciju kao direktnu posljedicu svojstva (iv).

Napomena B.1 Primjetimo da je put t → H(t, ·) u biti dužina koja spaja funkcije ϕ i ψ u vektorskom prostoru funkcija C(Ū, X). Ovo je takozvana afina homotopija.

Propozicija B.3 (Svojstvo izrezivanja) Ako je K zatvoreni podskup od Ū i b ∉ ϕ(K), onda je

deg(ϕ, U \ K, b) = deg(ϕ, U, b).

Dokaz : To je direktna posljedica aditivnosti i normalizacije.

Propozicija B.4 Preslikavanje X ∋ b → deg(ϕ, U, b) je konstanta na svakoj komponenti povezanosti od X \ ϕ(∂U).

Propozicija B.5 (Produkt stupnja) Neka je ϕ_{i} ∈ C(Ū_{i}, X_{i}), i = 1, 2, gdje su U_{i} otvoreni i ograničeni skupovi u X_{i} = ℝ^{n} i b_{i} ∈ X_{i} \ ϕ_{i}(∂U_{i}). Tada

deg((ϕ_{1}, ϕ_{2}), U_{1} × U_{2}, (b_{1}, b_{2})) = deg(ϕ_{1}, U_{1}, b_{1}) · deg(ϕ_{2}, U_{2}, b_{2}).

Dokaz : Vidi Napomenu B.2 u sljedećoj točki.

B.2 Konstrukcija stupnja

Prije nego što opišemo konstrukciju stupnja navest ćemo jedan rezultat koji koristimo u koraku (b).

Teorem B.1 (Sardov teorem) Neka ϕ ∈ C^{1}(Ū, ℝ^{n}), gdje je U otvoreni skup u ℝ^{n}, i S = {u ∈ U, detϕ′(u) = 0}, singularni skup od ϕ, gdje je detϕ′(u) Jacobian od ϕ = (ϕ_{1}, …, ϕ_{n}) u U, tj. determinanta n × n matrice (\frac{∂ϕ_{i}}{∂x_{j}})_{i,j}. Tada skup singularnih vrijednosti ϕ(S) preslikavanja ϕ ima Lebesqueovu mjeru nula u ℝ^{n}.

Dokaz : Dokaz se može naći u [10].

Želimo definirati topološki stupanj za neprekidnu funkciju ϕ : Ū → X, Ū ⊂ X = ℝ^{n}, b ∉ ϕ(∂U). To ćemo napraviti u tri koraka: (a) prvo za funkciju ϕ klase C^{1} i b regularan, (b) tada za ϕ klase C^{1} i b singularan i (c) za općenitu funkciju ϕ.

(a) Pretpostavimo da ϕ ∈ C^{1}(Ū, ℝ^{n}), gdje je U otvoreni i ograničeni skup i b ∉ ϕ(∂U). Isto tako pretpostavimo da je točka b regularna vrijednost funkcije ϕ, tj. za svaki u ∈ ϕ^{−1}(b) vrijedi da je detϕ′(u) ≠ 0. Koristeći teorem inverzne funkcije sa b ∉ ϕ(∂U), lako dobivamo da je skup ϕ^{−1}(b) konačan. Iz toga slijedi da je sljedeća cjelobrojna funkcija

deg(ϕ, U, b) = ∑_{u∈ϕ^{−1}(b)} sgn[detϕ′(u)],

dobro definirana. Može se pokazati da ona zadovoljava sva svojstva iz točke B.1. Ako je gornja suma prazna, tj. ako b ∉ ϕ(U), tada stupanj definiramo tako da je on nula. Funkcija J_{ϕ(u)} = detϕ′(u) je Jacobian preslikavanja ϕ u točki u. Kao što možemo vidjeti, tu nam broj |deg(ϕ, U, b)| predstavlja najnižu granicu broja rješenja jednadžbe ϕ(u) = b u U.

(b) Sada promatramo singularni slučaj. Neka je ϕ klase C^{1} i neka je b ∈ ℝ^{n} \ ϕ(∂U) jedan proizvoljan element koji nije regularan, tj. postoji u ∈ ϕ^{−1}(b) tako da je detϕ′(u) = 0. Za takav b kažemo da je singularna vrijednost funkcije ϕ.

Vodeći se Sardovim teoremom, za bilo koju C^{1} fukciju ϕ : Ū → ℝ^{n} skup singularnih vrijedonsti ϕ{u ∈ Ū, detϕ′(u) = 0} ima Lebesqueovu mjeru nula. Dakle, možemo izabrati niz regularnih vrijednosti {b_{k}} koji konvergira singularnoj vrijednosti b. To nam dozvoljava da proširimo definiciju stupnja na slučaj kad je b singularan:

deg(ϕ, U, b) = lim_{k→∞} deg(ϕ, U, b_{k}),

gdje su stupnji u limesu definirani kao u koraku (a). Naravno limes ne ovisi o izboru niza {b_{k}}.

(c) Neka ϕ ∈ C(Ū, ℝ^{n}) (tj. ϕ nije nužno klase C^{1}) i neka b ∈ ℝ^{n} \ ϕ(∂U). Vodeći se Stone-Weierstrassovim teoremom aproksimacije postoji niz ϕ_{k} ∈ C^{1}(Ū, ℝ^{n}) tako da ϕ_{k} → ϕ uniformno kada k → ∞. Može se pokazati da je

deg(ϕ, U, b) = lim_{k→∞} deg(ϕ_{k}, U, b),

dobro definirana cjelobrojna funkcija koja zadovoljava sva svojstva iz prethodne točke.

Napomena B.2 Sada možemo dokazati formulu za produkt stupnja. Dovoljno je da pretpostavimo da ϕ_{i} ∈ C^{1}(U_{i}, ℝ^{n}), b_{i} ∉ ϕ_{i}(S_{i}), gdje je S_{i} = {x ∈ U_{i}, detϕi^{′}(u) = 0}, i = 1, 2, zato što neprekidna funkcija može biti uniformno aproksimirana C^{1} funkcijama. Tada imamo

det(ϕ_{1}, ϕ_{2})′ = det [ \begin{matrix}ϕ1^{′} & 0 \\ 0 & ϕ2^{′} \end{matrix} ] = detϕ1^{′} · detϕ2^{′},

gdje je stupanj blok matrica n_{1} + n_{2}, pa tako

deg((ϕ_{1}, ϕ_{2}), U_{1} × U_{2}, (b_{1}, b_{2})) = ∑_{(u_{1},u_{2})∈ϕ_{1}^{−1}(b_{1})×ϕ_{2}^{−1}(b_{2})} sgnJ_{(ϕ_{1},ϕ_{2})}((u_{1}, u_{2}))

= ∑_{(u_{1},u_{2})∈ϕ_{1}^{−1}(b_{1})×ϕ_{2}^{−1}(b_{2})} sgn[J_{ϕ_{1}}(u_{1})J_{ϕ_{2}}(u_{2})]

= [ ∑_{u_{1}∈ϕ_{1}^{−1}(b_{1})} sgnJ_{ϕ_{1}}(u_{1})][ ∑_{u_{2}∈ϕ_{2}^{−1}(b_{2})} sgnJ_{ϕ_{2}}(u_{2})]

= deg(ϕ_{1}, U_{1}, b_{1}) · deg(ϕ_{2}, U_{2}, b_{2}).

Sada ćemo dokazati teorem koji pokazuje korištenje stupnja pri rješavanju nelinearnih jednadžbi.

Teorem B.2 Neka ze neprekidno preslikavanje ϕ : B → ℝ^{n} (B kugla iz ℝ^{n}) vrijedi

ϕ(x) + λx ≠ 0, za svaki λ ≥ 0, x ∈ ∂B.

Tada jednadžba ϕ(x) = 0 ima rješenje unutar B.

Dokaz : Zbog pretpostavke imamo da je ϕ(x) ≠ 0 na ∂B, pa zbog Propozicije B.2 postoji deg(ϕ, B, 0). Definiramo afinu homotopiju

H(t, x) = tϕ(x) + (1 − t)x, 0 ≤ t ≤ 1.

Kako je H(t, x) ≠ 0 za x ∈ ∂B, imamo

deg(ϕ, B, 0) = deg(H(1, x), B, 0) = deg(I, B, 0) = 1.

Kroneckerov princip nam daje egzistenciju rješenja.

Bibliografija

[1] Amrouche C., Girault V., Propriétés fonctionnelles d’opérateors. Application au problème de Stokes en dimension quelconque, Publications du laboratoire d’analyse numerique, Mars, 1994.

[2] Blavier E., Mikelić A., On the Stationary Quasi-Newtonian Flow Obeying a Power-law, RAIRO Modelisation Math. Anal. Numer., 18 (1995), 927-948.

[3] Galdi G.P., An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations, I,II, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

[4] Kaplický P., Málek J., Stará J., Full regularity of weak solutions to a class of nonlinear fluids in two dimensions-stationary periodic problem, Comment. Math. Univ. Carolinae 38(4) (1997), 681-695.

[5] Kondriatiev V. A., Oleinik O. A., Boundary Value Problems for the System of Elasticity Theory in Unbounded Domains. Korn’s Inequality, Russian Math. Surveys, 43(5) (1988), 65-119.

[6] Lions J.L., Quelques méthodes de resolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969.

[7] Málek J., Nečas J., Ružička M., On the non-Newtonian fluids, Math. Models Methods Appl. Sci. 3 (1993), 35-63.

[8] Málek J., Rajagopal K. R., Ružička M., Existence and regularity of solutions and the stability of the rest state for fluids with shear dependent viscosity, Math. Models Methods Appl. Sci. 5 (1995), 789-812.

[9] Marušić-Paloka E., Existence and regularity of the purely viscous polymer flow, poslan za objavljivanje u Appl. Anal.

[10] Mitrović D., Žubrinić D., Fundementals of applied functional analysis, Longman, 1988.

[11] Nečas J., Equations aux dérivées partielles, Presses de l’Université de Montréal, 1965.

[12] Nirenberg L., Topics in Nonlinear Functional Analysis, Courant Institute of Mathematical Science, New York, 1974.

[13] de Rham G., Variétés différentiables, Hermann, Paris, 1960.

[14] Rosen S.L., Fundamental Principles of Polymeric Materials, second edition, Wiley, 1993.

[15] Ružička M., A Note on Steady Flow of Fluids with Shear Dependent Viscosity, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, 30 (5) (1997), 3029-3039.

[16] Sandri D., Sur l’approximation numérique des écoulements quasinewtoniens dont la viscosité suit la loi puissance ou la loi de Carreau, RAIRO Modelisation Math. Anal. Numer., 27 (2) (1993), 131-155.

[17] Temam R., Navier-Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1984.