hrvatski

H-mjere i primjene

H-mjere, ili kako se još nazivaju, mikrolokalne defektne mjere su početkom devedesetih godina dvadesetog stoljeća nezavisno uveli Luc Tartar i Patrick Gerard. Kako su se najprije pojavile u vezi s nekim problemima iz homogenizacije, Tartar ih je nazvao H-mjerama. One su vrsta Radonovih mjera koje opisuju limes kvadratičnih izraza $\LLd$ funkcija. Preciznije, neka je $(u_n)$ omeđen niz u $\LLd$ koji konvergira slabo k $u$. Tada je $(u_n - u)^2$ omeđen u $\LLj$, stoga konvergira slabo k pozitivnoj Radonovoj mjeri $\nu$. U slučaju jake konvergencije mjera $\nu$ je nul mjera. Na taj način, ona mjeri odstupanje slabe od jake konvergencije, te ju je stoga Gerard prozvao mikrolokalnom defektnom mjerom. Ovaj rad se sastoji iz dva dijela. U prvom dijelu prikazana je osnovna teorija H-mjera, dok se drugi dio sastoji od primjena H-mjera na hiperboli"cke jednadžbe, odnosno, sustave. U prvom poglavlju dat je prikaz klasične teorije pseudodiferencijalnih operatora. Ti operatori predstavljaju poopćenje diferencijalnih operatora, pri cemu je ključna ideja da se račun operatora zamijeni računom pridruženih simbola. Uzimajući dovoljno široku klasu simbola moći ćemo za neke od tih operatora (na primjer za eliptičke) odrediti njihove inverze. Teorem postojanja H-mjera u njegovom najopćenitijem obliku kakvom ga je dokazao Gerard dat je u drugom poglavlju. Pri tom su H-mjere pridružene nizovima $\LLdl$ funkcija s vrijednostima u proizvoljnom separabilnom Hilbertovom prostoru $H$. Prikazani su i primjeri H-mjera povezani uz dvije osnovne vrste slabe konvergencije: oscilacija i koncetracija, te njihova osnovna svojstva: transportno i lokalizacijsko. Također je citiran Tartarov teorem postojanja H-mjera. Drugi dio ovog rada, između ostalog, sadrži prikaz autorovih originalnih rezultata. Započinje trećim poglavljem u kojem se nalazi poopćenje Francfortovog i Muratovog rezultata iz 1992. godine na nelinearnu valnu jednadžbu. Pri tom se gleda niz valnih jednadžbi s različitim početnim uvjetima. Energija pridružena svakoj pojedinoj valnoj jednadžbi se može izračunati, nas, međutim, zanima limes gustoća energije, takozvana makroskopska gustoća energije. Budući da je energija izražena kvadratičnim članovima, limes se izražava pomoću H-mjera. Koristeći prijenosna svojstva H-mjera, izvodi se prijenosna jednadžba za H-mjeru, te se ona izražava pomoću H-mjera pridruženih nizu početnih uvjeta. Pokaže se da dodavanje nelinearnog člana nije rezultiralo promjenom te energije. U četvrtom poglavlju analizira se isti problem kao i u trećem, sada, međutim, koristeći tehnike koje je razvio Gerard u svom članku iz 1995. godine. Osnovna ideja se sastoji u tome da se zamrzne vremenska varijabla $t$ i da se limes mikrolokalnih energija $d_n$ izrazi H-mjerama koje ne ovise o dualnoj varijabli $\tau$, što znatno pojednostavljuje račun. Gerardove metode su poopćene na slučaj nelinearne valne jednadžbe (s članom $u^3$) s varijabilnim koeficijentima uz prostorne derivacije. Pri tom se dobije isti rezultat kao i u trećem poglavlju, to jest, dokaže se da dodavanje nelinearnog člana nije rezultiralo promjenom makroskopske energije. U posljednjem poglavlju primjenjuju se tehnike iz četvrtog poglavlja na simetrični hiperbolički sustav. Glavno sredstvo u računu su pri tom opet H-mjere. Izvede se prijenosna jednadžba koju zadovoljava pripadna H-mjera i taj se rezultat primijeni na valnu jednadžbu. Zapisujući valnu jednadžbu kao hiperbolički sustav, izračuna se pripadna H-mjera za titrajući niz početnih uvjeta. Dobiveni rezultat se slaže s onima iz prethodna dva poglavlja, te također s rezultatom koji se dobije direktnim računanjem H-mjera pomoću D'Alembertove formule za rješenje valne jednadžbe.

H-mjere; pseudodiferencijalni operatori; makroskopska gustoća energije

nije evidentirano