hrvatski

Sredine Cauchyjevog tipa i srodni rezultati

Cilj ovog rada je definiranje novih sredina Cauchyjevog tipa koje su motivirane Jensenovom nejednakošću na način da se promatra kvocijent razlika lijeve i desne strane Jensenove nejednakosti za različite funkcije. Kao što je to slučaj i pri definiranju Lagrangeovih i Cauchyjevih sredina, i do sredina Cauchyjevog tipa dolazi se pomoću odgovarajućih teorema srednje vrijednosti. Polazeći od jednog poznatog diskretnog rezultata A. McD. Mercera - teorema srednje vrijednosti Cauchyjevog tipa - te njegove integralne verzije, u ovom su radu postupno po poglavljima, korištenjem različitih metoda, dane njegove daljnje generalizacije i s tim povezani dodatni rezultati. Rad se sastoji od pet poglavlja. U prvom su poglavlju dane definicije i poznati rezultati koji se koriste u sljedećim poglavljima. Drugo poglavlje se bavi prirodnom generalizacijom potpunih simetričnih sredina, tzv. generaliziranim Whiteleyjevim sredinama. Tu su dane dvije integralne reprezentacije tih sredina, te dobivene analogne nejednakosti koje su karakteristične za potpune simetrične sredine. Korištenjem iste metode kao i A. McD. Mercer, u trećem poglavlju je dobivena prva generalizacija spomenutog teorema srednje vrijednosti - umjesto integrala po segmentu promatra se integral po proizvoljnom konveksnom skupu u $R^n$ uz vjerojatnosnu mjeru. Novodobiveni rezultati su zatim primijenjeni na razne klase sredina, između ostalog i na generalizirane Whiteleyjeve sredine. Zatim je, u četvrtom poglavlju, dan uniforman pristup nejednakostima Jensenovog tipa korištenjem Greenove funkcije. Dobivaju se nužni i dovoljni uvjeti na proizvoljnu realnu Stieltjesovu mjeru tako da za proizvoljnu konveksnu funkciju vrijedi Jensenova nejednakost. Kao posljedica, iz tih rezultata slijedi generalizacija teorema srednje vrijednosti Cauchyjevog tipa za takvu mjeru. Ovdje su također dani i odgovarajući rezultati za konverzije Jensenove nejednakosti. Primjenom analogona Jensenove nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale, tzv. Jessenove nejednakosti, na odgovarajuće konveksne funkcije, u posljednjem poglavlju je dobivena nova generalizacija teorema srednje vrijednosti Cauchyjevog tipa, sada za pozitivne linearne funkcionale. Uz pretpostavku na invertibilnost odgovarajuće funkcije, dobivaju se nove sredine Cauchyjevog tipa. Također se proučava njihova usporedba. Sredine iz ovog poglavlja predstavljaju generalizaciju sredina koje se na analogan način mogu dobiti korištenjem rezultata iz prethodnih poglavlja.

konveksne funkcije; Jensenova nejednakost; teoremi srednje vrijednosti; sredine; kvaziaritmetičke sredine; integralne potencijalne sredine; Tobeyeva sredina; Stolarsky-Tobeyeva sredina; funkcionalna Stolarskyjeva sredina; simetrične sredine; potpune simetrične sredine; generalizirane Whiteleyjeve sredine; podijeljene razlike; Hermite-Hadamardova nejednakost; Jessenova nejednakost

nije evidentirano