hrvatski

Eliptičke krivulje nad konačnim poljima

Posljednjih dvadesetak godina eliptičke krivulje imaju iznimno važnu ulogu u teoriji brojeva, te s njom povezanoj kriptografiji. Posebno važnu ulogu u kriptografiji imaju eliptičke krivulje nad konačnim poljima koje su predmet proučavanja ovog diplomskog rada. U uvodnom dijelu pojašnjena je motivacija za proučavanje eliptičkih krivulja nad konačnim poljima u smislu njihove upotrebe u kriptografiji. Takoder je dan pregled potrebnih definicija i rezultata iz teorije polja, te posebno konačnih polja. Drugo poglavlje otvoreno je definicijom grupe eliptičke krivulje nad proizvoljnim poljem. Dani su primjeri grupe nad konačnim poljem, te su izračunati pripadni redovi odnosno odredene pripadne strukture grupa, čime je najavljen osnovni cilj ovog diplomskog rada – dati što preciznije odgovore o redu i strukturi grupe eliptičke krivulje nad konačnim poljem u općenitom slučaju. U tu svrhu obrađena su poglavlja posvećena endomorizmima grupe eliptičke krivulje, točkama torzije, Weilovom sparivanju te posebno važnom tipu endomorfizma eliptičke krivulje – Frobeniusovom preslikavanju. Pitanje određivanja reda grupe eliptičke krivulje svedeno je na pitanja o svojstvima Frobeniusovog endomorfizma. Centralni dio rada je Hasseov teorem kojim je ograničen broj točaka na eliptičkoj krivulji nad konačnim poljem, odnosno dan je interval u kojem se red grupe nalazi, i to dovoljno precizno da bude osnova brojnim algoritmima za odredivanje reda grupe. Za sami kraj drugog poglavlja ostavljen je dokaz o strukturi grupe eliptičke krivulje. U trećem poglavlju opisani su neki važni rezultati i algoritmi vezani za odredivanje reda grupe, odnosno broja točaka na eliptičkoj krivulji. Dan je kratak uvod u Schoofov algoritam – prvi algoritam koji to čini u polinomijalnom vremenu, te su dane reference na odgovarajuću literaturu.

elliptičke krivulje; konačna polja; Hasseov teorem

nije evidentirano