hrvatski

Polinomne varijantne Diofantova problema

U disertaciji se bavimo dvjema polinomnim varijantama Diofantova problema, jednog od problema iz podrucja teorije brojeva. Osnovni Diofantov problem sastoji se u traženju Diofantovih m-torki, skupova od m prirodnih brojeva, takvih da je umnožak bilo koja dva njihova elementa uvecan za 1 potpun kvadrat. Najprije promatramo taj problem nad K[X], za algebarski zatvoreno polje K karakteristike 0. Osnovni dobiveni rezultat je da ne postoji skup od 8 polinoma s koeficijentima u K, koji nisu svi konstantni, takav da je umnožak bilo koja dva njegova razlicita elementa uvecan za 1 potpun kvadrat. Time je smanjena ranije poznata ograda od 11 polinoma. Posljedica dokazanog rezultata je poboljšanje gornje ograde na broj elemenata skupa u K[X] takvog da je umnožak bilo koja dva njegova razlicita elementa uvecan za 1 k-ta potencija nekog elementa iz K[X], za neki k >= 2. Kontraprimjerom pokazujemo i da u K[X] ne vrijedi hipoteza da za svaku Diofantovu cetvorku {; ; a, b, c, d}; ; imamo (a + b - c - d)^2 = 4(ab + 1)(cd + 1), koja vrijedi nad Z[X]. Drugi problem se odnosi na polinomne D(n)-m-torke, skupove u Z[X] takve da je umnožak bilo koja dva njihova razlicita elementa uvecan za n iz Z[X] potpun kvadrat (iskljucujemo mogucnost da su svi elementi takvog skupa konstantni višekratnici linearnog polinoma p iz Z[X], takvog da p^2 | n). Kao posljedicu glavnog rezultata prvog dijela disertacije, dobivamo smanjenje ranije poznate gornje ograde na broj elemenata polinomne D(n)-m-torke, za nenul cjelobrojni n, s 22 na 7. Osnovni rezultat ovog dijela disertacije je dokaz da je 98 gornja ograda na broj elemenata takvog skupa u slucaju kada je n kvadratni polinom nad Z. Posebno, dokazujemo da ako takav skup sadrži samo polinome neparnih stupnjeva, tada on ima najviše 18 elemenata.

Diofantove m-torke; polinomi

nije evidentirano