hrvatski

Neki diofantski problemi nad imaginarnim kvadratnim poljima

Neka je z element komutativnog prstena R. Diofantova četvorka sa svojstvom D(z), ili D(z)-četvorka, je skup od četiri različita elementa iz R, različita od nule, sa svojstvom da je produkt bilo koja dva različita elementa uvećan za z kvadrat nekog elementa u R. U prvom dijelu ove disertacije promatrali smo postojanje D(z)-četvorki u prstenu Z[sqrt{; ; -2}; ; ]. Pokušali smo proširiti do sada poznate rezultate od Abu Muriefah i Al Rashed iz 2004. Uspjeli smo dobiti nekoliko polinomijalnih formula za Diofantove četvorke sa svojstvom D(a+b sqrt{; ; -2}; ; ), gdje su a i b cijeli brojevi koji zadovoljavaju neke kongruencije. Također, pojavili su se i slučajevi u kojima formule ne mogu sadržavati element male norme, pa je bilo potrebno promatrati koeficijente od z po većem modulu. Time su takvi slučajevi postali teži i složeniji za riješiti. Ipak, uspjeli smo dobiti neke parcijalne rezultate, promatrajući koeficijente a i b modulo 11. Tijekom istraživanja, pojavila su se tri moguća izuzetka, tj. z iz {; ; -1, 1 +- 2 sqrt{; ; -2}; ; }; ; . Jer je 1 +- 2\sqrt{; ; -2}; ; = -1(1 -+ sqrt{; ; -2}; ; )^2, iz postojanja D(-1)-četvorke, odmah slijedi i postojanje D(1+2 sqrt{; ; -2}; ; ) i D(1-2 sqrt{; ; -2}; ; )-četvorke. Stoga je u drugom poglavlju disertacije prirodno bilo promatrati problem postojanja D(-1)-četvorke u prstenu Z[sqrt{; ; -2}; ; ], ali i u prstenima cijelih brojeva u nekim drugim kvadratnim poljima. Koriste\'ci poznate rezultate o proširenjima nekih familija skupova do D(-1)-četvorke u Z, dobili smo neke nove rezultate o proširenjima D(-1)-parova u imaginarnim kvadratnim poljima. Naime, uz uvjet t>1, uspjeli smo pokazati sljedeće: i) Ne postoji D(-1)-četvorka oblika {; ; 1, 2, c, d}; ; u Z[sqrt{; ; -t}; ; ]. ii) Ako je b iz {; ; 5, 10, 26, 50}; ; i t nije b-1, onda ne postoji D(-1)-četvorka oblika {; ; 1, b, c, d}; ; u Z[sqrt{; ; -t}; ; ]. iii) Ako t nije 4, 16, onda ne postoji D(-1)-četvorka oblika {; ; 1, 17, c, d}; ; u Z[sqrt{; ; -t}; ; ]. iv) Ako t nije 4, 9, 36, onda ne postoji D(-1)-četvorka oblika {; ; 1, 37, c, d}; ; u Z[sqrt{; ; -t}; ; ]. Promatrajući proširenje do D(-1)-četvorke, D(-1)-para {; ; 1, 17}; ; u Z[sqrt{; ; -2}; ; ] i D(-1)-para {; ; 1, 37}; ; u Z[sqrt{; ; -3}; ; ], pojavile su se tri mogućnosti obzirom na predznak elemenata c i d. To nas je dovelo do formiranja sustava simultanih pellovskih jednadžbi, čija smo rješenja tražili u skupu cijelih brojeva. Pri tome smo koristili rezultate iz simultanih diofanstkih aproksimacija, linearne forme u logaritmima algebarskih brojeva, te Baker-Davenportovu redukciju.

Diophantine m-tuples ; quadratic fields

nije evidentirano