engleski

Curves of foci, vertices, centres and directrices of pencils of conics in the pseudo - euclidean plane

Pseudo-euklidska (PE) ravnina je realna projektivna ravnina u kojoj je metrika inducirana realnim pravcem a i dvjema realnim točkama A1 i A2 koje mu pripadaju (tzv. apsolutna figura). Četiri točke ili četiri tangente odreduju beskonačno mnogo konika koje se nazivaju pramenom konika. U ovom radu proučavat će se: 1) redni pramenovi konika u PE-ravnini koji su zadani s četiri temeljne točke od kojih po tri nisu kolinearne ; 2) razredni pramenovi konika u PE-ravnini koji su zadani s četiri temeljna pravca - tangente konika pramena od kojih po tri nisu konkurentna. U radu se istražuju krivulje žarišta, tjemena i središta u pramenovima konika. Krivulje su izvedene na dva načina - konstruktivno i analitički. Za konstrukcije se koristi projektivni model PE-ravnine (apsolutna figura u konačnosti), a za analitičke dokaze afini model gdje je apsolutni pravac a određen jednadžbom x0 = 0, a apsolutne točke su A1 ; 2(0, 1, ±1). Pokazuje se da su općenito u rednom pramenu konika: • krivulja žarišta (2, 2)-cirkularna krivulja 6. reda • krivulja tjemena (1, 1)-cirkularna krivulja 8. reda • krivulja središta konika dok su u razrednom pramenu konika: • krivulja žarišta (1, 1)-cirkularna krivulja 3. reda • krivulja tjemena (2, 2)-cirkularna krivulja 7. reda • krivulja središta pravac. Krivulje žarišta i tjemena su razrađene i prema klasifikaciji pramenova koja je dana i za redne i za razredne pramenove s obzirom na položaj temeljnih i glavnih točaka odnosno pravaca prema apsolutnoj figuri. Na kraju su pokazana dva primjera za ravnalice iz kojih je jasno da je omotaljka ravnalica rednog pramena krivulja 4. razreda, a razrednog pramena 5. razreda.

pseudo-Euclidean plane; conic; pencil of conics; foci; vertices; centres; directrices

nije evidentirano