hrvatski

Potpuno cirkularne krivulje četvrtog reda u hiperboličkoj i izotropnoj ravnini

U radu se proučavaju cirkularne krivulje četvrtog reda u izotropnoj i hiperboličkoj ravnini. Ispituju se mogućnosti njihove tvorbe kvadratnom inverzijom, nožišnim i projektivnim izvođenjem. Za svaki od istraživanih načina tvorbe naglasak je stavljen na uvjete dobivanja potpuno cirkularnih krivulja. Uvodno je poglavlje posvećeno općoj teoriji krivulja u euklidskoj ravnini te su istaknute one koje prolaze apsolutnim točkama, tzv. cirkularne krivulje. U drugom su poglavlju cirkularne krivulje proučavane konstruktivnom metodom na Cayley-Kleinovom modelu hiperboličke ravnine. Krivulja hiperboličke ravnine je cirkularna ako dodiruje apsolutu u barem jednoj točki. Ako posjeduje izotropnu asimptotu u svakoj zajedničkoj točki s apsolutom, kaže se da je potpuno cirkularna. Zbog velikog broja različitih tipova cirkularnih krivulja 4. reda, proučavane su samo one koje su potpuno cirkularne. Kvartika može biti konstruirana kao geometrijsko mjesto sjecišta parova pridruženih konika dvaju projektivnih pramenova konika. Analitički su ispitani uvjeti koje ti pramenovi moraju zadovoljavati kako bi se dobio određeni tip potpuno cirkularne kvartike, a zatim su te činjenice iskorištene za tvorbu krivulje konstruktivnim putem. Definirane su automorfna inverzija i nožišna tvorba te istaknuta veza između njih. Kako su potpuno cirkularne krivulje 4. reda hiperboličke ravnine dobivene inverzijom već klasificirane, ovdje su izneseni i dopunjeni poznati rezultati. Treće je poglavlje posvećeno izotropnoj ravnini u kojoj se cirkularnom naziva ona krivulja koja prolazi apsolutnom točkom. Ukoliko s apsolutnim pravcem nema drugih zajedničkih točaka osim apsolutne, krivulja se naziva potpuno cirkularnom. Istraživanja su provedena sintetičkom metodom na projektivnom modelu i analitičkom metodom na afinom modelu izotropne ravnine. Pokazano je da je uspostavljanjem projektiviteta između dva pramena konika moguće konstruirati kvartike svih stupnjeva cirkularnosti, dok automorfnom inverzijom nastaju 1-, 2- i 4-cirkularne, a nožišnom tvorbom 2-, 3- i 4 cirkularne kvartike.

hiperbolička ravnina; izotropna ravnina; cirkularna kvartika

nije evidentirano