hrvatski

Primitivni dizajni na kojima jednostavne grupe djeluju kao grupe automorfizama

U ovoj disertaciji uvedena je metoda konstrukcije $1-$dizajna iz primitivnih grupa. Osim toga, dokazano je da se svaki primitivni dizajn može konstruirati navedenom metodom. Jednostavna grupa djeluje primitivno konjugacijom na klase konjugiranosti maksimalnih podgrupa te grupe. Točke i blokovi incidencijskih struktura predstavljeni su elementima klasa konjugiranosti maksimalnih podgrupa, a relacija incidencije definirana je u ovisnosti o presjeku odgovarajućih elemenata tih klasa. Primjenjujući opisanu metodu u disertaciji su konstruirani $1-$dizajni i regularni grafovi iz sljedećih jednostavnih grupa: $U(3, 3)$, $U(4, 2)$, $U(3, 4)$, $U(3, 5)$, $U(5, 2)$, $U(4, 3)$, $L(3, 5)$, $L(2, 32)$, $L(2, 49)$ i $L(4, 3)$. Neki konstruirani $1-$dizajni su ujedno i $2-$dizajni te su neki konstruirani regularni grafovi ujedno i jako regularni grafovi. Svi konstruirani $2-$dizajni i jako regularni grafovi detaljno su analizirani. Istaknimo samo neke od konstruiranih struktura. Iz unitarne grupe $U(3, 3)$ konstruiran je točka-hiperravnina dizajn s parametrima $2-(63, 31, 15)$ čija je puna grupa automorfizama izomorfna grupi $PGL(6, 2)$. Točka-hiperravnina dizajn s parametrima $2-(40, 13, 4)$ čija je puna grupa automorfizama izomorfna grupi $PGL(4, 3)$ konstruiran je i iz unitarne grupe $U(4, 2)$ i iz linearne grupe $L(4, 3)$. Iz linearne grupe $L(3, 5)$ konstruirana je projektivna ravnina reda pet. Iz iste grupe konstruirano je još šest blok dizajna koji imaju 31 točku i 3100 ili 3875 blokova i na koje jednostavna grupa $L(3, 5)$ djeluje kao puna grupa automorfizama. Iz unitarne grupe $U(3, 4)$ konstruiran je jako regularan graf s parametrima $(416, 100, 36, 25)$ čija je puna grupa automorfizama izomorfna punoj grupi automorfizama jednostavne grupe $G(2, 4)$. Jankova grupa $J_2$ djeluje kao grupa automorfizama na konstruirani graf. Iz jednostavne grupe $U(5, 2)$ konstruiran je jako regularan graf s parametrima $(1408, 567, 246, 216)$ čija je puna grupa automorfizama izomorfna grupi $Fi_{; ; 21}; ; :Z_2$. Nadalje, iz unitarnih grupa $U(3, q), \ q=3, 4, 5, 7$, konstruirani su hermitski unitali s parametrima $2-(q^3+1, q+1, 1)$ i semi-simetrični dizajni s parametrima $2-(q^4-q^3+q^2, q^2-q, (1))$. Iz matrica incidencije navedenih unitala i semi-simetričnih dizajna konstruirana je matrica incidencije Desarguesove projektivnih ravnina $PG(2, q^2)$.

pritimitivni dizajni; jednostavne grupe; jako regularni grafovi

nije evidentirano