Power operator means of Mercer's type (CROSBI ID 531435)
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Podaci o odgovornosti
Matković, Anita ; Pečarić, Josip ; Perić, Ivan
engleski
Power operator means of Mercer's type
We introduce a new class of power operator means M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; =((m^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; +M^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; )I-∑ _{; ; ; ; ; j=1}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; Φ _{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; (A_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ))^{; ; ; ; ; (1/r)}; ; ; ; ; , r∈ ℝ ∖ {; ; ; ; ; 0}; ; ; ; ; of selfadjoint operators A_{; ; ; ; ; 1}; ; ; ; ; , ..., A_{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; with spectra in [m, M], 0<m<M, and positive linear maps Φ _{; ; ; ; ; 1}; ; ; ; ; , ..., Φ _{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; with ∑ _{; ; ; ; ; j=1}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; Φ _{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; (I)=I. The real case was introduced by A. McD. Mercer (A monotonicity property of power means, J. Inequal. Pure and Appl. Math., 2002.). We discuss operator order among these means and show that they have the operator monotonicity property, i.e. M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ≤ M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; for r<s if either r≤ -1 or s≥ 1, and that M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ≤ Δ (m, M, s)M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; for r<s if -1<r and s<1, where Δ (m, M, p)=((p(m^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; M-M^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; m))/((1-p)(M^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; -m^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; )))((((1-p)(M-m))/(m^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; M-M^{; ; ; ; ; p}; ; ; ; ; m)))^{; ; ; ; ; (1/p)}; ; ; ; ; , for 0<m<M and p∈ ℝ , p≠ 0. In a simpler case, when M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; =(m^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; +M^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; -∑ _{; ; ; ; ; j=1}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; (A_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; x_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; , x_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; ))^{; ; ; ; ; (1/r)}; ; ; ; ; , r∈ ℝ ∖ {; ; ; ; ; 0}; ; ; ; ; and x_{; ; ; ; ; 1}; ; ; ; ; , … , x_{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; are such that ∑ _{; ; ; ; ; j=1}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; k}; ; ; ; ; (x_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; , x_{; ; ; ; ; j}; ; ; ; ; )=1, we show that M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ≤ M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; for all r<s. We also present some results related to mixed means M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; (M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; ), M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; (M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ), M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; (M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; ) and M_{; ; ; ; ; s}; ; ; ; ; (M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; ), where M_{; ; ; ; ; r}; ; ; ; ; denotes the ordinary power operator mean.
power operator means; operator monotonicity
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Podaci o prilogu
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Podaci o skupu
Applied Mathematics and Scientific Computing ApplMath07
predavanje
09.07.2007-13.07.2007
Brijuni, Hrvatska