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Bounds for the normalized Jensen-Mercer functional

We introduce the normalized Jensen-Mercer functional M_{; ; ; ; ; ; n}; ; ; ; ; ; (f, x, p)=f(a)+f(b)-∑_{; ; ; ; ; ; i=1}; ; ; ; ; ; ⁿp_{; ; ; ; ; ; i}; ; ; ; ; ; f(x_{; ; ; ; ; ; i}; ; ; ; ; ; )-f(a+b-∑_{; ; ; ; ; ; i=1}; ; ; ; ; ; ⁿp_{; ; ; ; ; ; i}; ; ; ; ; ; x_{; ; ; ; ; ; i}; ; ; ; ; ; ) and establish the inequalities of type MM_{; ; ; ; ; ; n}; ; ; ; ; ; (f, x, q)≥M_{; ; ; ; ; ; n}; ; ; ; ; ; (f, x, p)≥mM_{; ; ; ; ; ; n}; ; ; ; ; ; (f, x, q), where f is a convex function, x=(x₁, …, x_{; ; ; ; ; ; n}; ; ; ; ; ; ) and m and M are real numbers satisfying certain conditions. We prove them for the case when p and q are nonnegative n-tuples and when p and q satisfy the conditions for the Jensen-Steffensen inequality. We also give their integral versions in both cases.

Jensen-Mercer functional; Jensen-Mercer inequality; convex functions; bounds

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