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The Vertex Algebra $M(1)^+$ and Certain Affine Vertex Algebras of Level -1

We give a coset realization of the vertex operator algebra $M(1)^+$ with central charge $\ell$. We realize $M(1)^+$ as a commutant of certain affine vertex algebras of level -1 in the vertex algebra $L_{; ; ; ; C_{; ; ; ; \ell}; ; ; ; ^{; ; ; ; (1)}; ; ; ; }; ; ; ; (-\tfrac{; ; ; ; 1}; ; ; ; {; ; ; ; 2}; ; ; ; \Lambda_0) \otimes L_{; ; ; ; C_{; ; ; ; \ell}; ; ; ; ^{; ; ; ; (1)}; ; ; ; }; ; ; ; (-\tfrac{; ; ; ; 1}; ; ; ; {; ; ; ; 2}; ; ; ; \Lambda_0)$. We show that the simple vertex algebra $L_{; ; ; ; C_{; ; ; ; \ell}; ; ; ; ^{; ; ; ; (1)}; ; ; ; }; ; ; ; (-\Lambda_0)$ can be (conformally) embedded into $L_{; ; ; ; A_{; ; ; ; 2 \ell -1}; ; ; ; ^{; ; ; ; (1)}; ; ; ; }; ; ; ; (-\Lambda_0)$ and find the corresponding decomposition. We also study certain coset subalgebras inside $L_{; ; ; ; C_{; ; ; ; \ell}; ; ; ; ^{; ; ; ; (1)}; ; ; ; }; ; ; ; (-\Lambda_0)$.

vertex operator algebra; affine Kac--Moody algebra; coset vertex algebra; conformal embedding; W-algebra

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