engleski

Derivation and justification of the prestressed elastic string and elastic rod models from three-dimensional elasticity

U disertaciji izvodimo i rigorozno opravdavamo nižedimenzionalne modele napete žice i napetog štapa polazeći iz trodimenzionalnih jednadžbi teorije elastičnosti. Trodimenzionalno tijelo nazivamo tankim ako je njegova debljina u jednom (membrana, ploča, ljuska) ili dva (žica, štap) smjera znatno manja prema drugim smjerovima. Matematička analiza i konstrukcija numeričkih algoritama za dobivene nižedimenzionalne modele jednostavnija je od analize originalnih trodimenzionalnih zadaća. Model izvodimo singularnom perturbacijom trodimenzionalnih zadaća parametra debljine tijela h. Analizu možemo opisati u nekoliko koraka: 1. Izvod zakona ponašanja pripadnih lineariziranih jednadžbi za napeti izduženi elastični cilindar Omega^h debljine h. Uz pretpostavku da je napetost u cilindru posljedica prethodne homogene elastične deformacije phi^h homogenog izotropnog cilindra, iz općeg zakona ponašanja za izotropno homogeno tijelo izvodimo i zatim lineariziramo zakon ponašanja oko konfiguracije Omega^h. Jednadžba se sastoji od dva člana: napetosti T^h uzrokovane deformacijom phi^h i inkrementalnog tenzora elastičnosti L^h. Za T^h pretpostavljamo da zadovoljava jednadžbe jednostavne napetosti, a iz oblika od phi^h slijedi da je L^h transverzalno izotropan. Egzistencija i jedinstvenost rješenja slijede iz Lax-Milgramovog teorema. 2. U sljedećem koraku formalnim asimptotskim računom po parametru debljine h opravdamo skaliranje vanjskih sila koje djeluju na Omega^h uz pretpostavke da vodeći član pomaka zadovoljava rubne uvjete i da nema ograničenja na izbor sila. Kod izvoda žice pretpostavljamo da je napetost reda O(1), a u slučaju štapa da je reda O(h^2) prema parametru debljine h. 3. Naredni korak sastoji se u dokazu konvergencije rješenja trodimenzionalnih zadaća prema funkciji u^0 koja zadovoljava određene geometrijske restrikcije i nižedimenzione jednadžbe koje nazivamo modelom. Dokaz konvergencije i izvod modela koriste tehnike teorije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Ključni tehnički detalj je dokaz nejednakosti Kornovog tipa. 4. U posljednjem koraku uspoređujemo dobivene modele s modelima dobivenim linearizacijom iz nelinearnih jednodimenzionalnih modela žice i štapa. Modeli imaju istu strukturu, ali koeficijenti modela izvedenih iz jednodimenzionalnih modela ne uzimaju u obzir skupljanje poprečnih presjeka uzrokovanim deformacijom phi^h. Izvedeni model za progib napete žice po svojem obliku jednak je klasičnim jednadžbama elastične žice koje se mogu izvesti iz drugog Newtonovog aksioma. Izvedene su i jednadžbe za longitudinalni pomak i torziju, i dobiven je odnos napetosti i elastičnih konstanti trodimenzionalne teorije koji uzimaju u obzir skupljanje žice prilikom napinjanja. Model za progib napetog elastičnog štapa kombinacija je jednadžbi svijanja elastičnog štapa i jednadžbi napete žice, a nalazimo ga u monografiji o teoriji elastičnosti autora Landau i Lifshitz. Također, izvodimo i model za longitudinalni pomak i koeficijent napetosti sadrži informacije o sakupljanju poprečnog presjeka, ali nižeg reda.

elastic string; elastic rod; prestress; linearized elasticity; singular perturbation

nije evidentirano