engleski

General theory of relativity

U prvom poglavlju ovog rada smo objasnili osnove diferencijalne geometrije na mnogostrukostima. Uveli smo pojmove mnogostrukosti i mnogostrukosti s rubom i njima smo definirali diferencijabilna preslikavanja. Potom smo uveli pojam tangentnog, kotangentnog i općenito tenzorskog svežnja te smo pokazali c z da su sve to specijalni slučajevi vektorskog svežnja. Zatim smo uveli Liejevu derivaciju na $C^\infty$ funkcijama i vektorskim poljima koju smo potom poopćili na tenzorska polja. Definirali smo diferencijalne forme na kojima smo uveli vanjsku derivaciju i pomoću kojih smo definirali orijentaciju na mnogostrukosti, odnosno mnogostrukosti s rubom te orijentaciju induciranu na rubu. Potom smo definirali integral diferencijalne n-forme na n-mnogostrukosti i dokazali Stokesov teorem. U drugom poglavlju smo definirali koneksije na tri načina: pomoću horizontalnih potprostora, kovarijantne derivacije i kovarijantnog diferencijala i pojasnili njihovu ekvivalentnost. Potom smo definirali paralelni transport, geode- zijske krivulje i kompatibilnost metrike s koneksijom i dokazali da za svaku metriku postoji jedinstvena simetrična koneksija s njom kompatibilna. Potom smo pomoću paralelnog transporta duž infinitezimalne petlje sadržane u ravnini definirali operator zakrivljenosti te potom tenzor zakrivljenosti, Riccijev tenzor i Riccijev skalar. U trećem poglavlju smo uveli jednodimenzionalni i potom višedimenzionalni varijacijski račun, naveli osnove specijalne teorije relativnosti te potom kao krovni rezultat ovog diplomskog rada, kao Lagrangeove jednadžbe Hilbertovog funkcionala izveli Einsteinove jednadžbe u vakuumu za koje smo pokazali da u prostoru s materijom i drugim poljima dobivaju poznati oblik $$ R_{;ik}; - \frac{;1};{;2};R G_{;ik}; = \frac{;8 \pi G};{;c^4};T_{;ik}; $$. Na kraju smo prezentirali Schwarzschildovu crnu rupu kao jedno od rješenja i na tom primjeru uveli efekte horizonta crne rupe i ”krivljenja” zraka svjetlosti.

differentiable manifold; differential forms; tensors; connection; curvature; variational principle; Einstein equations

nije evidentirano